원주혁신도시 중3수학과외

원주혁신도시 중3수학과외, 점의 좌표를 식에 대응시키는 순간

문제에는 이차함수 y=ax²의 그래프와 점 하나가 제시되어 있었고, 그 점을 이용해 계수 a를 구하라는 내용이었습니다.

그래프를 본 뒤 바로 정한 값

학생은 그래프가 오른쪽 위로 올라가는 모양이라는 이유로 먼저 다음과 같이 적었습니다.

“오른쪽 위로 올라가므로 a는 양수이다. 그래프가 점 (2, 4)를 지나므로 4=2a, 따라서 a=2.”

그런데 실제 그림에서 표시된 점은 (2, 8)이었습니다. 학생은 그래프의 모양을 대략 읽으면서 x좌표와 y좌표를 정확히 대응시키지 않았고, 머릿속에 남은 4를 y값처럼 사용했습니다. 이때 계산 자체인 4=2a에서 a=2를 구하는 과정은 틀리지 않았지만, 계산을 시작하기 전 선택한 값이 이미 문제의 점과 맞지 않았습니다.

이 문제에서 먼저 확인해야 할 대상은 그래프의 높이를 어림하는 일이 아니라, 식 y=ax²에 직접 넣을 수 있는 주어진 점의 두 좌표입니다. 점 (2, 8)을 사용하면 x=2, y=8이므로 식은 다음처럼 세워집니다.

8=a×2²

8=4a, a=2

결과적으로 a의 값은 우연히 같아 보일 수 있지만, 처음 학생이 적은 식은 주어진 점 (2, 8)에 근거하지 않은 식이었습니다. 수업에서는 이미 맞게 처리한 나눗셈은 그대로 두고, 계산 직전에 좌표를 식의 x와 y에 직접 대응시키는 행동 하나만 고쳤습니다.

식이 아니라 표로 제시되었을 때

며칠 뒤에는 같은 개념을 다른 모양으로 연습했습니다. 이번에는 그래프 없이 다음 표가 주어졌습니다.

• x: -3, -1, 0, 1
• y: 18, 2, 0, 2

이 표가 함수 y=ax²의 일부라면, 표의 모든 줄을 무작정 계산할 필요는 없습니다. 먼저 x와 y가 함께 주어진 행 중 계산하기 쉬운 한 행을 선택합니다. 학생은 x=1, y=2인 행을 골라 “이 행은 식에 바로 대응된다”고 적었습니다.

2=a×1²이므로 a=2입니다. 이어 x=-3, y=18인 다른 행을 확인하여 18=2×(-3)²=18이 되는지 대입했습니다. 여기서는 그래프의 방향이나 모양을 근거로 부호를 정한 것이 아니라, 표 안의 한 쌍의 값을 식에 넣어 계수를 정하고 다른 주어진 쌍으로 확인했습니다.

표시 위치가 헷갈리는 새 문제

다음 문제에서는 그래프에 점이 직접 찍히지 않고, “함수 y=a(x-1)²의 그래프가 점 (3, 12)를 지난다”라고 문장으로 제시했습니다. 식의 모양이 달라졌지만, 해야 할 판단은 같습니다. 주어진 점에서 x와 y를 각각 식에 대응시키는 것입니다.

학생은 먼저 x=3, y=12라고 따로 표시한 뒤 식을 세웠습니다.

12=a(3-1)²

12=4a, a=3

이 문제에서 그래프가 위로 열린다는 인상만으로 a가 양수라고 먼저 결론 내리지 않았습니다. 먼저 점의 좌표를 식에 넣고, 계산 결과가 문제의 식과 맞는지 확인했습니다. 그래프를 읽는 순서가 달라져도 ‘주어진 점의 좌표와 식의 위치를 직접 연결한다’는 기준은 유지된 것입니다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

마지막에는 설명이나 표시 없이 다음 문제를 제시했습니다.

함수 y=a(x+2)²의 그래프가 점 (-1, 5)를 지날 때 a의 값을 구하여라.

학생은 별도의 도움 없이 “점의 x좌표 -1을 식의 x 자리에, y좌표 5를 식의 y 자리에 넣는다”고 말했습니다.

5=a(-1+2)²=a

따라서 a=5입니다. 검산도 스스로 y=5(x+2)²에 x=-1을 다시 대입하여 y=5×1²=5라고 설명했습니다. 그래프, 표, 문장 중 어떤 방식으로 정보가 주어져도 계산 전에 좌표와 식의 대응을 먼저 확인하고, 마지막에는 그 점을 함수식에 다시 넣어 근거를 확인하는 것이었습니다.