원주혁신도시 중2수학과외

자리수 관계를 연립방정식으로 옮기는 기준부터

섬강중학교 등이 포함된 생활권에서 자주 접하는 유형이라는 말보다 중요한 것은, 문장 속 수와 자리를 식의 두 미지수에 정확히 대응시키는 일이었다.

십의 자리 숫자는 일의 자리 숫자보다 2 크고, 두 자리 수와 자리를 바꾼 수의 합은 132이다. 원래 수를 구하여라.

첫 줄에서 드러난 선택

학생은 십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y로 정한 뒤 문제의 문장에서 ‘2 크다’에 밑줄을 그었다. 이어 원래 두 자리 수를 10x+y, 자리를 바꾼 수를 10y+x로 적었다. 여기까지는 각 숫자가 어느 자리에 들어가는지 표시하고, 두 수의 합을 식으로 옮긴 과정이 정확했다.

다만 계산을 시작할 때 첫 번째 관계식 x-y=2의 x 계수만 10으로 바꾸어 10x-y=2라고 다시 적었다. 다른 식은 10x+y+10y+x=132에서 정리한 11x+11y=132로 두었다. 학생은 이 두 식을 곧바로 가감하려 했지만, 문제의 숫자 관계를 나타내는 식과 두 자리 수의 합을 나타내는 식을 서로 다른 방식으로 변형한 것이 첫 어긋남이었다. 계산 결과가 맞는지 확인하기 전에 이미 원래 조건과 동치가 아닌 식을 선택한 셈이다.

계산 전에 한 가지 기준만 고치기

교정은 식을 더 많이 만드는 것이 아니라, 식을 바꾸기 전 양변에 같은 연산을 했는지 확인하는 것으로 좁혔다. x-y=2에서 x의 계수를 10으로 만들고 싶다면 y의 계수도 함께 10배 해야 하므로, 학생은 이 식을 10x-10y=20으로 고쳐 적었다. 합의 식은 이미 11x+11y=132이므로 그대로 유지했다.

이제 두 식의 계수를 살펴보며 없앨 미지수를 먼저 정했다. 첫 식을 10x-10y=20, 둘째 식을 11x+11y=132로 놓으면 y의 계수는 -10과 11이라 바로 없어지지 않는다. 학생은 첫 식과 둘째 식에 각각 11과 10을 곱해 110x-110y=220, 110x+110y=1320을 만들었다. 두 식을 더해 220x=1540, x=7을 구하고, x-y=2에 대입하여 y=5를 얻었다.

학생은 답만 적지 않고 원래 두 수를 75와 57로 복원했다. 75+57=132이고, 십의 자리 7은 일의 자리 5보다 2 크므로 처음 문장과 두 식이 모두 맞는지 확인했다. 이미 정확했던 ‘두 자리 수를 10x+y로 나타내기’는 그대로 두고, 계수를 바꾸는 순간 양변 전체를 같은 수로 곱하는 판단만 바로잡은 것이다.

식의 순서가 달라진 문제에서 다시 세우기

다음에는 설명 방식이 달라졌다. 이번에는 다음 두 조건을 먼저 제시했다.

두 자리 수와 자리를 바꾼 수의 차는 27이고, 두 숫자의 합은 9이다. 큰 수를 구하여라.

학생은 ‘큰 수’를 먼저 찾으려 하지 않고 십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y로 정했다. 두 자리 수가 더 크다고 보고 10x+y-(10y+x)=27, 숫자의 합은 x+y=9라고 적었다. 앞 문제처럼 합의 식이 먼저 나오지 않고 차의 식이 먼저 나왔지만, 자릿값을 식으로 옮기는 기준은 바뀌지 않았다.

첫 식을 정리해 9x-9y=27로 만들고, 둘째 식에 9를 곱해 9x+9y=81로 맞춘 뒤 더했다. 18x=108이므로 x=6, y=3이다. 학생은 63-36=27, 6+3=9를 각각 확인했다. 질문이 ‘원래 수’가 아니라 ‘큰 수’로 바뀌었으므로 마지막에 63을 선택한 이유도 “십의 자리 숫자 x가 일의 자리 숫자 y보다 크기 때문”이라고 덧붙였다.

도움 없이 기준을 재현한 장면

수업 끝에 학생에게 새로운 조건을 주고 풀이 순서나 계수는 알려 주지 않았다.

어떤 두 자리 수는 각 자리 숫자의 합이 11이고, 자리를 바꾼 수보다 36 크다. 그 수를 구하여라.

학생은 곧바로 십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y로 정한 뒤 x+y=11, (10x+y)-(10y+x)=36이라고 썼다. 이어 두 번째 식을 9x-9y=36으로 정리하고, 첫 번째 식에 9를 곱해 9x+9y=99로 만든 이유를 “y의 계수를 -9와 9로 맞춰 한 문자를 없애기 위해서”라고 설명했다.

더한 결과 18x=135가 되어 x가 정수가 되지 않자, 학생은 계산을 밀어붙이지 않고 원래 조건을 다시 읽었다. ‘차가 36’인 두 자리 수는 자리 숫자의 차가 4여야 하고, 숫자의 합이 11이면 두 숫자는 7.5와 3.5가 되어 자리 숫자가 될 수 없다고 판단했다. 따라서 이 조건에는 두 자리 자연수 해가 없다고 말하고, 식의 가감 전후가 동치인지도 확인했다. 과거처럼 계수 하나만 바꾸지 않고, 두 식 전체를 같은 수로 바꾸었는지 스스로 점검한 순간이었다.