반곡지구 중등수학과외

반곡지구중등수학과외, 168과 252의 소인수분해에서 지수와 인수를 확인하는 방법

합성수 168을 소인수분해하면 2³×3×7이고, 252를 소인수분해하면 2²×3²×7입니다. 두 문제 모두 수를 소수의 곱으로 나타내는 과제이지만, 처음 나누는 수와 끝까지 남는 인수가 다릅니다. 기본 문제의 설명은 가능해도 수가 252로 바뀌면 이전 결과를 그대로 옮기거나, 인수이면 모두 답에 쓸 수 있다고 판단하며 멈출 수 있습니다. 반곡지구중등수학과외에서는 답을 빠르게 말하게 하기보다, 풀이에 적힌 두 줄에서 어느 인수를 더 나누어야 하는지 판단한 근거를 확인합니다.

168은 왜 2³×3×7로 끝나는가

168은 2로 나누어 84, 다시 2로 나누어 42, 다시 2로 나누어 21이 됩니다. 따라서 168=2×2×2×21입니다. 여기서 21은 아직 소수가 아니라 3×7로 한 번 더 분해해야 합니다. 그래서 168=2×2×2×3×7=2³×3×7입니다. 소인수분해의 답에는 ‘원래 수를 나누는 수’라는 뜻의 인수 전체가 아니라, 더 이상 분해되지 않는 소수만 남아야 합니다. 예를 들어 21도 168의 인수이지만 합성수이므로 최종 답에 21을 그대로 두면 안 됩니다. 소인수분해 가지를 그릴 때 168에서 나온 2, 2, 2, 3, 7에 동그라미를 치고 21에는 표시하지 않으면, 무엇을 더 나누어야 하는지가 분명해집니다.

지수도 계산을 줄여 쓰는 기호가 아니라 곱해진 횟수를 나타냅니다. 2³은 2×2×2이고, 3이나 7은 각각 한 번씩만 곱해졌으므로 지수를 생략한 것입니다. 확인은 곱을 원래 수로 되돌리는 방식이 알맞습니다. 2³×3×7=8×3×7=24×7=168이므로, 소수만 남았는지와 곱이 168인지가 함께 확인됩니다.

252에서는 같은 관계를 새 수에 맞게 다시 적용한다

비교 문제에서는 기본 답을 참고해 바로 고치는 것이 아니라, 252의 첫 분해부터 선택하게 합니다. 252=2×126=2×2×63이고, 63은 3×21, 21은 3×7입니다. 따라서 252=2×2×3×3×7=2²×3²×7입니다. 168과 공통으로 2·3·7이 등장하지만, 252에서는 2가 두 번, 3이 두 번 곱해졌다는 점이 다릅니다. 그러므로 168의 2³×3×7을 그대로 쓰는 것은 수 자체가 달라졌다는 조건을 놓친 판단입니다.

이때 소수 판별표는 2, 3, 7은 더 분해하지 않고 63, 21처럼 합성수인 인수만 다시 나누도록 돕습니다. “남은 인수는 모두 소수인가요?”라는 짧은 질문으로 21을 3×7로 바꿀 필요를 확인할 수 있습니다. 또한 2²×3²×7=4×9×7=36×7=252이므로, 지수의 횟수와 복원한 곱이 모두 252와 맞는지 검산합니다. 반곡지구중등수학과외의 핵심은 두 답의 모양이 비슷하다는 점보다, 각 수를 실제로 분해한 결과가 지수에 반영되는지 살피는 데 있습니다.

풀이 두 줄을 비교해 다음 판단을 확인한다

확인할 때는 168의 풀이와 252의 풀이를 나란히 놓고, 168에서는 21을 3×7로 바꾼 줄, 252에서는 63과 21을 차례로 분해한 줄을 표시합니다. 이어 “두 문제에서 달라진 조건은 무엇인가요?”라고 물어 수가 168에서 252로 바뀌었고 그에 따라 소수의 반복 횟수도 달라진다는 설명이 나오는지 봅니다. “지수는 같은 소수를 몇 번 곱했다는 뜻인가요?”에는 2²=2×2, 3²=3×3처럼 곱으로 답하게 하면 기호만 외웠는지와 실제 분해에 연결하는지를 구분할 수 있습니다.

다음 단계는 252의 정답을 적는 것만으로 정하지 않습니다. 학생이 처음에 252를 어떤 인수로 나눌지 스스로 고르고, 합성수인 63과 21을 끝까지 분해하며, 2²×3²×7을 252로 되돌려 확인하는지를 봅니다. 이 과정에서 멈춘다면 멈춘 줄과 그때 남은 인수를 기록해 두고, 소수 판별과 지수의 횟수 중 어느 판단이 필요한지 다음 확인에서 구체적으로 다룹니다.