반곡동 고3수학과외

조건을 먼저 좁혀야 보이는 여사건의 구조

원주여자고등학교 인근 생활권에서 수능형 확률 문항을 풀던 학생은 식을 세우기 전에 주어진 수치를 문자로 바꾸는 습관이 있었다. 그런데 조건이 붙은 여사건 문제에서는 문자를 잘 정리하고도 풀이가 길어졌다. 반곡동과외 수업에서 확인한 문제는 다음과 같았다.

주사위를 두 번 던질 때, 첫 번째 눈이 짝수라는 조건에서 두 눈의 합이 8 미만일 확률을 구하여라.

학생은 두 눈을 각각 x, y로 놓고 ‘합이 8 미만’이라는 결과부터 세기 시작했다. 첫 번째 눈이 2, 4, 6일 때를 나누려 했지만, 한동안 전체 경우의 수 36을 기준으로 표를 만들었다. 그 결과 분자는 9, 분모는 36이 되어 1/4를 적었다.

틀린 계산보다 먼저 확인할 줄

오류는 경우를 세는 도중이 아니라, 조건을 표본공간으로 옮기지 않은 첫 순간에 생겼다. ‘첫 번째 눈이 짝수’는 답을 구할 때 참고하는 부가 문장이 아니라, 처음부터 허용되는 경우를 제한하는 조건이다. 따라서 전체 36개가 아니라 첫 번째 눈이 2, 4, 6인 18개만 남겨야 한다.

학생에게 전체 표를 다시 만들게 하지 않고, 풀이 첫 줄에 조건을 직접 복원하게 했다.

조건 B: x∈{2,4,6}, 표본공간의 크기 18

그다음 여사건인 ‘합이 8 미만’을 세었다. x=2이면 y는 1부터 5까지 5개, x=4이면 y는 1부터 3까지 3개, x=6이면 y는 1개뿐이다. 조건을 만족하는 경우는 5+3+1=9개이므로 확률은

9/18=1/2

가 된다. 교정의 핵심은 계산을 전부 다시 하는 것이 아니었다. 빠진 제한조건을 첫 줄에 표시하고, 그 조건 안에서만 결과를 세는 일이었다. ‘합이 8 미만’은 구하려는 사건이고, ‘첫 번째 눈이 짝수’는 후보를 줄이는 근거라는 점도 두 줄로 나누어 적었다.

조건의 위치를 바꾼 변형

며칠 뒤에는 조건문을 앞에 쓰지 않은 문제를 제시했다.

주사위를 두 번 던진다. 두 눈의 합이 8 이상인 사건을 A라 할 때, 첫 번째 눈이 홀수라는 조건에서 A가 일어날 확률을 구하여라.

이번에는 ‘첫 번째 눈이 홀수’를 먼저 찾아 x=1,3,5만 남겼다. 조건부 표본공간은 18개이다. x=1일 때 합이 8 이상인 y는 없고, x=3일 때는 5, 6 두 개, x=5일 때는 3, 4, 5, 6 네 개가 가능하다. 따라서 답은 6/18, 즉 1/3이다.

문제의 문장 순서나 사건 이름이 달라졌지만, 학생은 조건을 후보 범위와 분리해 기록했다. 보기에서 정답을 고르는 대신 각 경우가 조건을 만족하는지 직접 확인했고, 조건에 쓰이지 않은 정보가 있는지도 옆에 표시했다.

힌트 없이 남은 판단

마지막에는 처음 보는 카드 문제를 풀게 했다.

1부터 5까지의 숫자가 하나씩 적힌 카드 중 두 장을 차례로, 다시 넣지 않고 뽑는다. 첫 카드가 3보다 크다는 조건에서 두 카드의 합이 짝수일 확률을 구하여라.

학생은 곧바로 조건을 x∈{3,4,5}로 바꾸고, 순서를 고려한 조건부 표본공간을 3×4=12개로 잡았다. 합이 짝수이려면 두 카드의 홀짝이 같아야 한다. x=3일 때 뒤 카드는 1, 5로 2개, x=4일 때는 2로 1개, x=5일 때는 1, 3으로 2개이므로 5/12이다.

이어 “여사건인 합이 홀수로 물었다면?”이라고 바꾸자 학생은 전체 경우 12에서 조건을 만족하는 5개를 무심코 빼지 않고, 먼저 같은 조건부 표본공간을 유지한 뒤 7/12를 제시했다. 마지막 검산에서도 분모가 전체 카드 배열이 아니라 ‘첫 카드가 3보다 큰 배열’인지 확인했다. 새로운 숫자와 표현에서도 조건을 첫 식의 근거로 복원하는 행동이 유지되면서, 여사건을 세기 전에 표본공간부터 판독하는 기준이 자리 잡았다.