기업도시 중3수학과외

그래프의 인상보다 좌표 대응을 먼저 확인한 기업도시 중3수학과외 사례

이번 기록은 이차함수의 그래프를 보고 모양을 추측하는 데서 멈추지 않고, 주어진 점을 함수식에 직접 대응해 계수 a를 구하는 과정에 초점을 맞췄습니다.

답안의 마지막 줄에서 거꾸로 확인한 흔적

문제는 함수 y=ax²의 그래프가 점 (2, -8)을 지나갈 때 a의 값을 구하는 것이었습니다. 답안에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.

그래프가 위로 열려 있으므로 a>0이다.
점 (2, 8)을 대입하면 8=4a, 따라서 a=2이다.

계산 과정만 보면 8=4a에서 a=2를 얻은 것은 맞습니다. 그러나 문제에 제시된 점은 (2, 8)이 아니라 (2, -8)이었습니다. 완성된 풀이를 뒤에서부터 읽으며 ‘왜 8을 대입했는가’를 확인하자, 계산 실수보다 앞선 판단이 드러났습니다.

학생은 그래프가 아래쪽으로 내려간다는 사실과 화면에 표시된 점의 위치를 함께 확인하지 않고, 그래프 모양을 보고 점의 y좌표도 양수일 것이라고 단정했습니다. 실제로 (2, -8)을 식에 대응하면

-8=a×2²=4a

이므로 a=-2입니다. a=-2인 식 y=-2x²에 x=2를 넣으면 y=-8이 되어 주어진 점과 일치합니다.

가장 먼저 고친 한 가지

이 장면에서 처음 어긋난 판단은 ‘그래프의 모양만 보고 좌표와 계수의 부호를 정한 것’입니다. 뒤의 나눗셈은 그대로 두고, 식과 그래프에서 직접 대응하는 항목만 다시 읽도록 했습니다.

• 함수식에서 확인할 대상: y=ax²의 a와 x²
• 주어진 점에서 확인할 대상: x=2, y=-8
• 대응시킬 식: -8=a×2²

따라서 풀이 전체를 처음부터 다시 쓰지 않고, 잘못 읽은 8만 문제의 y좌표인 -8로 바꾸었습니다. 그러면 -8=4a, a=-2가 됩니다. 이 교정은 그래프가 예뻐 보이는지, 곡선이 얼마나 가파른지 등을 따지는 것이 아니라, 표시된 점의 두 좌표를 식의 x와 y에 정확히 연결하는 행동 하나에만 해당합니다.

표로 바뀌어도 같은 판단을 하는 연습

며칠 뒤에는 그래프 그림 대신 다음과 같은 함수와 표가 제시되었습니다.

y=a(x-1)²+3

x	3
y	11

이번에는 점을 좌표로 다시 쓰는 과정에서 모양을 추측할 그래프가 없었습니다. x=3, y=11을 식에 직접 대응하면

11=a(3-1)²+3

입니다. 따라서 11=4a+3, 8=4a, a=2가 됩니다. 앞 문제와 식의 모양과 제시 방식은 달라졌지만, 핵심은 변하지 않았습니다. 표의 x값을 식의 x 자리에, y값을 식의 y 자리에 넣어 계수 a를 찾았습니다.

학생은 처음에 “표에서는 그래프 방향을 볼 수 없으니 어렵다”고 했지만, 이 문제에는 그래프의 모양을 판단할 필요가 없었습니다. 주어진 값과 식의 대응 관계만 확인하면 되므로, 처음 문제에서 생긴 오류가 표 문제로 옮겨가지 않았는지 살필 수 있었습니다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

마지막에는 풀이 중간을 가린 채 다음 문제를 제시했습니다.

함수 y=a(x+2)²-1의 그래프 위에 점 (-1, 5)가 있다. a를 구하여라.

학생은 별도의 질문 없이 먼저 “점의 x좌표는 -1, y좌표는 5이므로 식에 그대로 넣는다”고 설명했습니다.

5=a(-1+2)²-1

이어서 5=a-1, a=6이라고 계산했습니다. 그리고 새로 얻은 값을 함수식에 다시 대입했습니다.

y=6(-1+2)²-1=6×1-1=5

계산 결과가 문제에서 준 점의 y좌표 5와 같으므로, 구한 a=6이 해당 점을 함수식에 맞게 만드는 값이라고 설명했습니다. 처음처럼 그래프의 인상으로 좌표나 부호를 정하지 않고, 새 문제에서도 좌표를 식에 직접 대응한 뒤 대입으로 확인했습니다.