기업도시 고2수학과외







학생 풀이 기록에서 드러난 첫 번째 오류
기업도시과외 수업에서 다음 다항함수의 미분 풀이를 살펴보았다.
문제: 함수 \(f(x)=3x^3-2x^2+5x-4+2x^2-x\)의 도함수 \(f'(x)\)를 구하여라.
기록된 풀이
\(f'(x)=9x^2-4x+5+4x-x\)
\(=9x^2- x+5\)
각 항을 미분하는 과정은 맞았지만, \(x\)항인 \(-4x\)와 \(4x\), \(-x\)를 한꺼번에 정리하면서 계수를 잘못 계산했다. 실제로 \(-4+4-1=-1\)이므로 이 계산 자체는 맞지만, 원래 식을 먼저 정리하면 오류 가능성을 더 낮출 수 있다.
두 계산 순서 비교
미분 후 동류항 정리
항별로 미분하면
\(f'(x)=9x^2-4x+5+4x-x\)
같은 차수의 항을 모으면 \(x\)항의 계수는 \(-4+4-1=-1\)이므로
\[ f'(x)=9x^2-x+5 \]
미분 전 식을 먼저 정리
원래 함수를 정리하면
\(f(x)=3x^3+5x-4\)
따라서
\[ f'(x)=9x^2+5 \]
두 결과가 다르므로 앞선 풀이를 다시 확인해야 한다. 원래 식에서 \(x\)항은 \(5x-x=4x\)이고, \(x^2\)항은 \(-2x^2+2x^2=0\)이다. 따라서 올바른 정리는
\[ f(x)=3x^3+4x-4,\qquad f'(x)=9x^2+4 \]
최종 검산으로 찾은 전이 기준
미분 후 계산을 다시 하면
\[ f'(x)=9x^2-4x+5+4x-x =9x^2+(-4+4-1) =9x^2-x+5 \]
그런데 \(2x^2\)의 미분은 \(4x\)가 아니라, 원래 식의 \(2x^2\)와 \(-2x^2\)를 먼저 합치면 서로 없어져야 한다. 항별 미분식에는 \(-2x^2\)의 미분인 \(-4x\)와 \(2x^2\)의 미분인 \(4x\)가 포함되지만, 마지막 \(5x-x\)의 미분은 \(5-1=4\)이다. 따라서 정확한 결과는
\[ f'(x)=9x^2-4+4+5-1=9x^2+4 \]
핵심은 미분과 동류항 정리를 동시에 처리하지 않는 것이다. 전개되지 않은 다항식은 먼저 같은 차수끼리 정리한 뒤 미분하거나, 항별 미분 후에는 상수항·\(x\)항·\(x^2\)항을 차수별로 분리해 확인하면 된다. 이러한 순서 선택이 다항함수의 미분에서 계산 오류를 줄이는 기준이 된다.