기업도시 중2수학과외
자리수 관계를 연립방정식으로 읽어 내는 풀이
기업도시 생활권의 국책연구단지와 수루배마을6단지가 있는 지역에서 중2수학과외를 진행하던 중, 학생의 오답을 정답부터 거꾸로 추적하는 방식으로 한 문제를 다시 살폈다. 문제는 “십의 자리 숫자가 일의 자리 숫자보다 2 크고, 두 자리 수와 자리 숫자를 바꾼 수의 합이 110일 때 원래 수를 구하여라”였다. 섬강중학교가 포함된 생활권에서 접한 유형과 비슷했지만, 학교별 경향을 전제로 하지 않고 학생이 실제로 적은 식만 확인했다.
계산 결과가 아니라 첫 갈림길부터 확인하다
학생은 십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y로 두었다. 문제에서 두 자리 수를 10x+y, 숫자를 바꾼 수를 10y+x로 표시한 부분까지는 정확했다. 공책에는 다음 두 줄이 남아 있었다.
x-y=2
10x+y+10y+x=110
학생은 두 번째 식을 정리해 11x+11y=110, x+y=10을 얻었고, 첫 번째 식과 함께 풀어 x=6, y=4를 계산했다. 그런데 최종 답을 64가 아니라 46으로 옮겨 적었다. 채점 결과만 보면 답을 바꾸어 쓴 실수처럼 보였지만, 학생은 풀이 중간에 대입할 식을 잘못 고른 흔적도 보였다.
완성된 계산을 뒤에서부터 읽으면서 학생은 x=6, y=4를 두 원래 조건에 다시 넣었다. x-y=2는 맞았지만, “십의 자리 숫자가 일의 자리 숫자보다 2 크다”는 문장에서 원래 수의 십의 자리가 x라는 약속을 했으므로 원래 수는 반드시 10x+y, 즉 64여야 했다. 여기서 끝내지 않고, 그 앞의 대입 줄로 올라갔다.
같은 미지수가 남은 이유
학생의 첫 풀이에는 다음과 같은 줄이 있었다.
y=x-2를 두 번째 식에 대입한다.
10x+y+10y+x=110에 y=x-2를 넣는다.
이 선택 자체는 가능하다. 그러나 실제 계산에서는 y를 바꾸지 않고 두 번째 식의 일부에만 대입해 10x+(x-2)+10y+x=110이라고 적었다. 그러면 y가 남아 있으므로 식 하나로 x를 구할 수 없다. 학생은 이 상태에서 임의로 y=4를 넣어 계산을 이어 갔다. 결과가 틀어진 최초의 판단은 마지막에 46을 쓴 일이 아니라, 대입한 문자를 식 전체의 모든 y에 바꾸어 쓰지 않은 것이었다.
교정은 한 가지로 제한했다. 이미 세운 두 식과 x-y=2라는 관계는 그대로 두고, 두 번째 식의 y를 모두 x-2로 바꾸게 했다.
10x+(x-2)+10(x-2)+x=110
22x-22=110
x=6, y=4
학생은 계산 뒤 “x는 십의 자리, y는 일의 자리로 정했으므로 10x+y=64”라고 직접 답을 정리했다. 이어 64+46=110, 6-4=2를 각각 확인해 두 조건이 모두 살아 있는지 검산했다. 전체 풀이를 처음부터 다시 쓰게 하지 않고, 처음 어긋난 대입 한 줄만 바로잡은 것이다.
식이 가려진 문제에서 조건을 다시 연결하기
다음에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 표현을 바꾸었다. “어떤 두 자리 자연수는 자리 숫자를 바꾼 수보다 27 크고, 두 자리 숫자의 합은 9이다”라는 문장을 주고, 중간 식은 가렸다. 학생은 먼저 원래 수를 10x+y, 바꾼 수를 10y+x로 표시했다. 그다음 문장의 순서를 따라 식을 만들지 않고, 각 조건이 어느 식에 들어가는지 따로 표시했다.
- 두 자리 숫자의 합이 9 → x+y=9
- 원래 수가 바꾼 수보다 27 큼 → (10x+y)-(10y+x)=27
두 번째 식을 정리하면 9x-9y=27, 따라서 x-y=3이다. 학생은 x+y=9와 x-y=3을 묶어 x=6, y=3을 구하고 원래 수를 63으로 썼다. 이번에는 “63-36=27”을 먼저 계산한 뒤 “6+3=9”를 확인했다. 문제의 질문이 자리 숫자가 아니라 두 자리 수였다는 점도 답 옆에 표시했다.
힌트 없이 같은 판단을 세우는지 확인
수루배마을과 무실지구가 이어지는 생활권의 다른 수업 장면에서는 다음 문제를 새로 제시했다. “십의 자리 숫자는 일의 자리 숫자의 3배이고, 두 자리 수와 자리 숫자를 바꾼 수의 차는 54이다. 원래 수를 구하여라.” 학생에게 풀이 중간을 보여 주지 않고 첫 줄부터 작성하게 했다.
학생은 곧바로 “십의 자리 x, 일의 자리 y”라고 약속한 뒤 10x+y, 10y+x를 적었다. 이어 x=3y, (10x+y)-(10y+x)=54를 세웠다. 대입할 때는 “두 번째 식의 x를 전부 3y로 바꿔야 같은 미지수만 남는다”고 스스로 말하며 10(3y)+y-10y-3y=54를 계산했다. y=3, x=9를 얻은 뒤 원래 수 93을 적고, 93-39=54와 9=3×3을 각각 검산했다.
교사의 힌트 없이도 문장 속 자리 관계를 미지수로 정하고, 두 자리 수의 표현을 식에 빠짐없이 반영한 뒤, 구한 값을 두 원래 조건에 대입했다. 기업도시중2수학과외가 필요한 상황을 판단할 때도 이런 식으로 최종 답보다 첫 식의 의미와 대입 과정이 이어지는지를 확인하는 것이 중요하다.