중화산동 고2수학과외







맞지 않는 일반항을 고른 순간
학생은 등차수열의 일반항을 \(a_n=pn+q\)로 두고 \(a_3=7\) 조건만 사용해 \(3p+q=7\)을 세웠다. 이후 \(p=1,\ q=4\)를 임의로 정해 \(a_n=n+4\)라고 답했다.
하지만 이 식은 \(a_3=7\)은 만족해도 \(a_8=12\)가 되어 두 번째 조건 \(a_8=22\)를 만족하지 않는다. 한 조건으로 매개변수 두 개를 모두 정할 수 없었던 것이 최초 오류다.
두 조건을 동시에 대입하기
주어진 조건을 각각 일반항에 넣으면
\[ a_3=3p+q=7,\qquad a_8=8p+q=22 \]
두 식을 연립한다.
\[ (8p+q)-(3p+q)=22-7 \] \[ 5p=15,\qquad p=3 \]
따라서
\[ 3p+q=7\Rightarrow 9+q=7\Rightarrow q=-2 \]
일반항은
\[ \boxed{a_n=3n-2} \]
공차 조건과 최종 확인
\(a_n=pn+q\)에서 공차는 \(p\)이므로 공차가 양수라는 조건은 \(p>0\)이다. 연립식에서 \(p=3\)으로 결정되므로 이 조건도 만족한다.
교정 전후 비교
| 구분 | 일반항 | \(a_3\) | \(a_8\) |
|---|---|---|---|
| 오류 풀이 | \(n+4\) | 7 | 12 |
| 교정 풀이 | \(3n-2\) | 7 | 22 |
최종 식은 두 항 조건을 모두 만족하고 공차 \(3\)도 양수다. 중화산동과외에서는 이처럼 매개변수의 개수에 맞게 독립적인 조건을 모두 사용했는지 먼저 점검하도록 지도한다.