중화산동 중1수학과외

중화산동 생활권에서 이어진 가격과 수량 방정식 풀이

이번 학생의 기록은 계산 실수 하나보다 가격과 수량 사이의 관계를 등식으로 옮기는 첫 판단이 어떻게 뒤의 풀이를 바꾸는지 보여 주었다. 중화산동과외 수업에서는 답을 고치는 데 그치지 않고, 잘못된 식이 만들어진 지점을 거꾸로 찾아갔다.

답이 아니라 첫 식부터 거슬러 올라가기

문제에는 공책 3권과 펜 2자루의 가격 합이 7,400원이고, 공책 한 권은 펜 한 자루보다 800원 비싸다고 되어 있었다. 학생은 공책 가격을 x원으로 적은 뒤 펜 가격을 곧바로 x-800원이라고 썼다. 여기까지는 조건에 맞았다. 그런데 합계식에서 공책 3권과 펜 2자루를 3x+2(x+800)=7400으로 나타냈다.

오답인 공책 가격 1,840원이 나온 뒤, 학생은 계산 과정의 어느 줄에서 값이 달라졌는지 표시했다. 식을 다시 읽자 펜은 공책보다 800원 싸므로 x-800이어야 하는데, 합계식에서만 반대로 바뀐 것이 최초의 오류였다. 뒤의 분배와 동류항 계산은 그 잘못된 식 안에서는 일관되었으므로, 모든 계산을 다시 할 필요는 없었다.

공책 가격을 x로 정했으니, ‘펜은 800원 싸다’라는 문장을 x와 800의 관계로 먼저 확인한 뒤 수량을 곱한다.

학생은 가격 조건과 수량 조건을 따로 줄을 바꾸어 적었다.

• 공책 한 권: x원
• 펜 한 자루: x-800원
• 전체 가격: 3x+2(x-800)=7400

양변을 정리하여 5x-1600=7400, 5x=9000, x=1800을 얻었다. 펜 가격은 1,000원이었다. 처음 잘못된 식에서 출발한 풀이와 나란히 놓으니, 계산 능력보다 등식에 조건을 정확히 넣는 일이 먼저라는 점이 분명해졌다.

친구의 풀이와 바꾸어 표현하기

친구는 공책 가격이 아니라 펜 가격을 y원으로 두었다. 그러면 공책은 y+800원이므로 3(y+800)+2y=7400이 된다. 이를 정리하면 5y+2400=7400, y=1000이고, 공책은 1,800원이다. 학생은 두 식의 모양은 달라도 같은 가격 관계를 나타낸다는 것을 확인했다. 미지수를 무엇으로 정했는지가 달라졌을 뿐, ‘한 권 또는 한 자루의 가격’과 ‘각 수량을 곱한 전체 가격’이라는 구조는 유지되었다.

이후 같은 개념을 문장 형태로 바꾸어 적용했다. “노트 한 권은 지우개 한 개보다 600원 비싸고, 노트 2권과 지우개 4개의 가격은 6,800원이다”라는 조건을 표로 먼저 정리했다. 지우개 가격을 y원으로 두고 노트는 y+600원으로 적은 다음, 2(y+600)+4y=6800을 세웠다. 이번에는 가격 관계를 먼저 표시했기 때문에 수량을 곱하는 순서에서도 흔들리지 않았다.

분수와 소수 조건에서도 같은 판단을 재현하다

표현을 다시 바꾸어, 연필 한 자루 가격을 x원, 자의 가격을 연필의 1.5배로 두었다. 연필 4자루와 자 2개의 합이 2,400원이라는 조건은 4x+2(1.5x)=2400으로 옮겼다. 학생은 1.5x가 자 한 개의 가격이고, 앞의 2는 자의 수량이라는 이유를 문장으로 설명했다. 정리하면 7x=2400이므로 x는 약 342.86원이지만, 이 문제에서는 가격이 자연수가 되지 않아 조건에 맞지 않는다는 점도 확인했다. 답을 억지로 정수로 고치지 않고 조건 자체를 다시 살핀 것이다.

조건을 바꾸어 연필 가격을 0.8배로 정한 지우개와 연필 5자루의 합이 1,800원인 경우에는 연필 가격을 x원으로 두고 5x+0.8x=1800을 세웠다. 학생은 계수 0.8이 수량이 아니라 가격 사이의 관계임을 구분해 적었다.

힌트 없이 원래 조건에 대입한 검증

다음 자습 시간에는 풀이 순서를 알려 주지 않고 새로운 문제를 제시했다. 학생은 먼저 “파일 한 개는 노트 한 권보다 700원 싸다”에 밑줄을 긋고, 노트 가격을 x원으로 정했다. 노트 2권과 파일 3개의 합이 5,900원이므로 2x+3(x-700)=5900을 세웠다. 정리하여 5x-2100=5900, 5x=8000, x=1600, 파일은 900원이라고 설명했다.

검산에서는 구한 값을 원래 등식에 직접 넣었다. 2×1600+3×900=3200+2700=5900이므로 전체 가격 조건이 맞았다. 또 파일 가격 900원이 노트보다 700원 싸다는 관계도 확인했다. 학생은 “미지수를 정한 뒤 가격 관계를 쓰고, 수량을 곱해 합계 등식을 만든다. 마지막에는 두 조건에 각각 대입한다”고 스스로 풀이 이유를 말했다. 이처럼 중화산동중1수학과외에서는 새로운 숫자나 표현을 만나도 첫 판단과 검산 근거를 혼자 재현하는 과정까지 연결한다.