서부신시가지 중1수학과외

서부신시가지 중1수학과외에서 이어진 과부족방정식 풀이

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숫자보다 먼저 확인해야 했던 한 문장

문제는 다음과 같았다.

학생들에게 연필을 한 명당 3자루씩 나누어 주면 5자루가 부족하고, 한 명당 2자루씩 나누어 주면 7자루가 남는다. 학생 수와 연필 수를 구하여라.

학생은 학생 수를 x명으로 정하고, 첫 조건에서 연필 수를 3x-5라고 적었다. 이어 두 번째 조건도 같은 방식으로 해석하여 2x-7이라고 쓴 뒤, 두 식을 같게 놓았다.

그러나 풀이가 어긋난 최초의 지점은 계산이 아니었다. ‘2자루씩 나누어 주면 7자루가 남는다’는 말은 연필 수가 2x에서 7을 뺀 양이 아니라, 2x에 7을 더한 양이라는 판단을 하지 않은 데 있었다. 부족할 때와 남을 때의 방향을 같은 것으로 처리한 것이다.

부족과 남음을 식의 부호로 구분하기

학생이 적어 둔 식의 옆에 두 상황을 짧게 나란히 표시했다.

• 3자루씩 주면 5자루 부족: 전체 연필 수 + 5 = 3x, 따라서 전체 연필 수 = 3x-5
• 2자루씩 주면 7자루 남음: 전체 연필 수 = 2x+7

두 표현이 모두 같은 전체 연필 수를 나타내므로

3x-5=2x+7

이라고 세웠다. 양변에서 2x를 빼면 x-5=7, 양변에 5를 더하면 x=12가 된다. 학생 수가 12명이므로 전체 연필 수는 3×12-5=31자루이다. 두 번째 조건에도 대입하여 2×12+7=31이므로 같은 수가 나온다는 점까지 확인했다.

이때 단순히 답을 고치는 데 그치지 않고, x가 학생 수라는 정의를 식 아래에 다시 적었다. 그래서 31을 학생 수로 잘못 읽지 않고, 구한 x와 전체 연필 수를 구분할 수 있었다.

문장 형태가 바뀌어도 같은 판단을 하는 연습

다음 문제는 같은 개념을 표처럼 제시하지 않고, 분수와 소수 표현을 섞은 문장으로 바꾸었다.

어떤 수의 0.5배보다 4가 작은 수와, 그 수의 0.25배보다 8이 큰 수가 서로 같다. 어떤 수를 구하여라.

학생은 먼저 ‘어떤 수’를 x로 정하고, 두 표현을 각각 0.5x-4와 0.25x+8로 옮겼다. 여기서도 ‘작다’는 빼고 ‘크다’는 더한다는 방향을 문장 옆에 표시했다.

0.5x-4=0.25x+8

양변에 100을 곱해 50x-400=25x+800으로 바꾸고, 25x=1200, x=48을 얻었다. 원래 문장에 넣으면 48의 0.5배보다 4가 작은 값은 20이고, 48의 0.25배보다 8이 큰 값도 20이다. 표현이 분수나 소수로 달라져도 먼저 기준이 되는 수를 정하고, 부족과 초과의 방향을 구분하면 같은 과부족방정식으로 연결된다.

힌트 없이 조건의 순서를 바꾸어 재현하다

검증 단계에서는 문제의 순서를 바꾸었다.

12명에게 연필을 나누어 주려고 한다. 한 명에게 2자루씩 주고도 7자루가 남는 연필이 있다면, 한 명에게 3자루씩 주기에는 몇 자루가 부족한가?

학생은 도움 없이 전체 연필 수를 먼저 구했다. 2×12+7=31이므로 연필은 31자루이고, 3×12=36자루가 필요하므로 36-31=5자루가 부족하다고 설명했다. 이어 이를 식으로도 3×12-5=31이라고 적었다.

학생은 “남는 조건은 전체 수에 더하고, 부족한 조건은 필요한 수에서 전체 수를 뺀 차이로 나타낸다. 두 조건에서 말하는 전체 수가 같아야 등식을 세울 수 있다”고 풀이 이유를 스스로 말했다. 마지막에는 31을 두 조건에 각각 대입해 결과가 일치하는지 확인했다.