서부신시가지 고1수학과외







서부신시가지 고1수학과외에서 역함수의 대응을 놓친 순간
학생은 \(f(x)=2x-3\)의 역함수를 구하며 식을 먼저 \(y=2x-3\)으로 바꾸었다. 그런데 \(x\)와 \(y\)를 같은 역할의 기호처럼 다루면서 \(y=2x-3\)을 그대로 정리해 \(y=\frac{x-3}{2}\)라고 적었다. 계산은 매끄러워 보였지만, 입력과 출력의 대응이 뒤바뀌지 않은 답이었다.
기호를 바꾸기 전에 역할부터 표시하다
풀이를 멈추고 \(x\)는 함수의 입력, \(y\)는 출력이라고 여백에 적은 뒤, 역함수에서는 두 역할이 서로 바뀐다는 점을 표시했다. 그 후 \(y=2x-3\)에서 \(x\)와 \(y\)의 위치를 바꾸어 \(x=2y-3\)으로 만들고, \(y\)에 대해 정리했다.
\(x=2y-3 \Rightarrow x+3=2y \Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}\)
이제 기호 자체를 외워 바꾸는 대신, 입력과 출력의 대응을 바꾼 결과로 역함수의 식을 얻는다는 기준을 세웠다.
식이 아닌 말로 바꾸어도 같은 대응인가
서부신시가지 생활권에서 이동한 거리를 \(x\), 이동 후 위치를 \(y=2x-3\)으로 나타낸 상황으로 바꾸어 보았다. 이번에는 “위치를 알고 이동 거리를 찾는 규칙”을 식으로 표현하게 했다. 학생은 위치를 입력으로 삼아 \(x=\frac{y+3}{2}\)를 만든 뒤, 변수 이름을 정리해 역함수 \(\frac{x+3}{2}\)를 얻었다. 단순히 숫자만 바꾼 것이 아니라, 질문의 방향을 바꾸어 대응 관계를 적용한 것이다.
새 식은 합성으로 확인하다
마지막에는 \(g(x)=\frac{x+3}{2}\)가 실제 역함수인지 합성으로 점검했다.
\(f(g(x))=2\left(\frac{x+3}{2}\right)-3=x\)
반대 방향도 \(g(f(x))=\frac{(2x-3)+3}{2}=x\)가 되어, 두 함수가 서로의 입력과 출력을 되돌린다는 결론을 확인했다.