서부신시가지 고3수학과외

끝항에서 드러난 이항정리의 선택조건

서부신시가지 생활권에서 수능 기출을 복기하던 학생은 다음 문제의 풀이를 시작하며 일반항부터 적었다.

다항식 (2+x)⁵에서 x^k의 계수를 a_k라 할 때, a_k를 이항계수로 나타내고 k=0, 5, 6에서의 값을 비교하여라.

학생은 곧바로 a_k=2^5-kC(5,k)라고 쓴 뒤 k=0과 k=5를 계산했다. 두 끝에서는 각각 32와 1이 나와 풀이가 자연스럽게 이어지는 듯했다. 그러나 k=6에도 같은 식을 적용해 C(5,6)을 계산하려고 했다. 이항정리의 일반항을 적는 일과 실제로 선택 가능한 항의 범위를 확인하는 일을 분리하지 않은 것이다.

일반항보다 먼저 확인할 범위

이 전개에서 x를 k개 선택하고 2를 5-k개 선택해야 하므로 k는 반드시 0≤k≤5인 정수다. 따라서

(2+x)⁵=Σ_k=0⁵ 2^5-kC(5,k)x^k

로 쓰며, k=0과 k=5는 허용되는 경계값이다. 반면 k=6은 선택할 수 있는 x의 개수가 전체 다섯 개를 초과하므로 해당 항 자체가 없다. 이때 C(5,6)을 억지로 일반적인 경우처럼 계산하는 것이 아니라 a₆=0으로 처리해야 한다.

교정할 때는 계산 전체를 다시 하지 않고, 일반항 옆에 먼저 “k=0,1,2,3,4,5”를 적게 했다. 이어 k=0과 k=5를 실제 전개식의 첫 항과 끝 항에 대입해 보게 했다. 첫 항은 2⁵=32, 끝 항은 x⁵이므로 계수 1이다. 이 확인으로 경계에서는 공식이 사라지는 것이 아니라 허용범위 안에서 그대로 작동한다는 점도 함께 확인했다.

선택조건과 경우수를 섞지 않기

학생은 그동안 C(5,k)를 단순한 숫자 계산으로만 보았다. 그래서 “5개 중 k개를 고른다”는 의미와 “문제에서 허용한 k의 범위”를 한 줄로 처리했다. 두 내용을 상자 두 개로 나누어 적게 하자 판단이 달라졌다.

• 선택조건: k는 0 이상 5 이하인 정수
• 경우수: 조건을 만족하는 k에 대해 C(5,k)

이 구분 뒤에는 k=5에서 C(5,5)=1을 계산하고, k=6에서는 경우수를 구하기 전에 조건을 위반했음을 먼저 말할 수 있었다. 서부신시가지고3수학과외에서 이 장면을 기록할 때도 단순 계산 실수보다, 경계값을 확인하지 않고 공식을 확장한 최초 행동을 오답 원인으로 남기는 것이 중요하다.

표현 순서를 바꾼 독립 적용

다음 날에는 해설을 가리고 다른 형태의 문제를 제시했다.

(1+2x)⁴의 x^r의 계수를 b_r라 할 때, r=0, 4, 5에서 b_r를 판단하여라.

이번에는 식의 순서와 지수가 바뀌었지만 학생은 먼저 “r은 0부터 4까지”라고 적었다. 일반항은 b_r=C(4,r)2^r이고, b₀=1, b₄=16이다. r=5는 선택조건 밖이므로 0이라고 결론냈다. 이전 문제의 숫자를 기억해 답한 것이 아니라, 항의 개수에서 허용범위를 다시 찾은 것이다.

힌트 없이 유지된 판단

마지막 검증에서는 문제의 유형명을 가리고 “(3−x)⁶에서 x^j의 계수”만 제시했다. 학생은 첫 계산 전에 j의 범위를 0≤j≤6으로 정하고, 부호는 일반항의 (−1)^j에서 따로 확인했다. j=6에서는 양의 부호와 계수 1을, j=7에서는 범위 밖이라 계수 0임을 설명했다.

특히 답만 말하지 않고 “먼저 선택 가능한 항인지 확인한 뒤, 그 안에서 이항계수를 계산한다”고 풀이 순서를 역추적했다. 경계값과 범위 밖 값을 같은 공식으로 밀어붙이지 않는 판단이 새로운 식에서도 유지되면서, 이항정리의 경계 검증이 실제 행동으로 자리 잡았다.