거제동 중2수학과외
거제동 중2수학과외에서 부등호 방향을 다시 읽은 풀이
거제동과외 수업에서 학생은 일차부등식 문제를 푼 뒤 답만 확인하지 않고, 풀이 과정을 거꾸로 읽어 보기로 했다. 거제여자중학교가 포함된 생활권이나 부산광역시립연산도서관 인근 생활권에서 접할 수 있는 문제 유형처럼, 식을 계산한 뒤 수직선에 해를 나타내는 과정이 함께 요구된 문제였다.
“부등호가 바뀐 줄을 계산 결과가 나온 뒤가 아니라, 그 직전 식에서 찾아보자.”
완성된 풀이에서 첫 갈림길 찾기
문제는 -3x+5>14를 만족하는 x의 범위를 구하고 수직선에 나타내는 것이었다. 학생은 먼저 양변에서 5를 빼서 -3x>9라고 적었다. 이어 양변을 -3으로 나누면서 x<-3이라고 썼지만, 수직선에는 -3에서 빈 동그라미를 그리고 오른쪽으로 선을 그었다. 식과 그림의 방향이 서로 맞지 않는 것을 확인한 학생은 최종 그림부터 고치려 하지 않고 풀이를 아래에서 위로 읽었다.
학생은 -3에서 빈 동그라미를 표시한 것은 부등호가 작다는 뜻이므로 왼쪽으로 가야 한다고 말하며, 그림의 방향이 첫 번째 이상 신호였음을 찾았다. 그러나 더 앞의 식을 살펴보면서 실제로 먼저 잘못 선택한 판단은 양변을 음수 -3으로 나눈 뒤에도 부등호 방향을 그대로 유지한 것이라고 짚었다. 수직선의 선을 잘못 그린 것은 그 판단에서 이어진 결과였다.
한 줄만 고쳐 원래 풀이를 살리기
학생은 처음부터 다시 계산하지 않았다. 이미 맞게 처리한 -3x>9까지는 그대로 두고, 그 다음 줄의 양변 나눗셈 옆에 “음수로 나누면 방향 반대”라고 짧게 적었다. 그 뒤
-3x>9 → x<-3
라고 다시 확인했다. 이번에는 경계값 -3을 원래 식에 대입했다. -3(-3)+5=14가 되어 등호가 성립하지만, 문제의 부등호는 >이므로 -3 자체는 해에 포함되지 않는다고 설명했다. 그래서 수직선의 -3에는 빈 동그라미를 표시하고, x<-3에 맞춰 왼쪽으로 선을 그었다.
학생은 경계값만 확인하는 데 그치지 않고 -4도 대입했다. -3(-4)+5=17이므로 17>14가 성립해 왼쪽 영역이 실제 해임을 검산했다. 반대로 -2를 넣으면 11>14가 거짓이므로 오른쪽 영역을 선택하면 안 된다는 점도 확인했다.
표와 문장으로 바뀐 독립 적용
같은 판단을 식 모양만 바꾼 문제에서 다시 확인했다. 이번에는 다음 표가 주어졌다.
- x의 값: -5, -4, -3, -2, -1
- 3x+2의 값: -13, -10, -7, -4, -1
- 조건: 3x+2≤-7
학생은 표에서 -7에 대응하는 x가 -3임을 찾고, 조건에 등호가 있으므로 경계값을 포함해야 한다고 표시했다. 따라서 x≤-3이라고 답하고 수직선의 -3에 찬 동그라미를 그린 뒤 왼쪽으로 선을 연결했다. 단순히 숫자를 바꾼 계산이 아니라, 식을 표로 읽고 질문의 방향을 “조건을 만족하는 x의 범위”로 바꾸어 판단한 것이다.
이어 문장 문제도 풀었다. “어떤 수 x의 세 배에 2를 더한 값이 -7보다 작거나 같다”라는 문장을 학생은 먼저 3x+2≤-7로 옮겼다. 양변에서 2를 빼면 3x≤-9이고, 양의 수 3으로 나누므로 부등호 방향은 그대로라고 설명했다. 음수로 나눌 때와 양수로 나눌 때를 구별해 적은 점이 앞선 오류와 직접 연결됐다.
힌트 없이 재현한 마지막 확인
수업 끝에는 풀이 중간을 가린 새 문제를 제시했다.
7-2x≥15
학생은 첫 줄을 보고 “먼저 7을 양변에서 빼면 -2x≥8”이라고 스스로 정했다. 이어 “이제 -2로 나누므로 부등호가 반대가 되어 x≤-4”라고 이유를 말하며 부호 옆에 작은 표시를 남겼다. 수직선에서는 -4에 찬 동그라미를 그리고 왼쪽으로 선을 그렸다.
검산 근거도 직접 제시했다. x=-4를 넣으면 7-2(-4)=15로 등호가 성립하므로 포함되고, x=-5를 넣으면 17≥15라서 왼쪽 영역이 맞는다. x=-3을 넣으면 13≥15가 거짓이므로 오른쪽은 해가 아니라고 설명했다. 거제동중2수학과외 수업에서 확인한 것은 답 하나가 아니라, 음수 연산 직후 방향을 먼저 판단하고 경계값과 수직선으로 그 판단을 스스로 검증하는 과정이었다.