거제동 고3수학과외

정답에서 거꾸로 찾은 미정형 극한의 첫 판단

거제동의 학습 공간에서 진행한 고3 수학과외 복습 중, 학생은 다음 극한의 오답 풀이를 가져왔다.

lim_x→0 {ln(1+x)−x}/x²

처음 식에 x=0을 대입하면 분자와 분모가 모두 0이므로 미정형이다. 학생은 정답이 −1/2라는 사실을 확인한 뒤, 풀이의 마지막 계산부터 거꾸로 올라갔다. 두 번째 미분과 정리 과정은 정확했지만, 첫 줄에 밑줄이 그어져 있었다.

ln(1+x)=x 이므로 분자는 0이다.

계산 중간의 부호 실수가 아니라, 근삿값을 등식처럼 사용한 것이 최초의 어긋남이었다. ln(1+x)와 x의 차이가 바로 분자의 핵심인데, 이를 없애 버리면서 이후 계산은 정답을 설명하지 못하는 형태가 되었다.

첫 줄에서 사라진 항을 복원하다

학생에게 전체 풀이를 다시 쓰게 하지 않고, 표시된 한 줄만 고치도록 했다. ln(1+x)=x가 아니라, x가 0에 가까울 때에도 다음 항까지 남겨야 한다고 적었다.

ln(1+x)=x−x²/2+o(x²)

따라서 분자는 −x²/2+o(x²)이고, x²로 나누면 극한은 −1/2이다. 학생은 첫 식 옆에 “0/0이면 사라지는 항의 차수를 확인한다”라고 적었다. 이 한 문장이 첫 판단과 최종 결론을 연결했다.

같은 결과를 미분으로도 확인했다. 한 번 미분하면 (1/(1+x)−1)/(2x) 역시 0/0이고, 다시 미분하면 −1/(1+x)²를 2로 나눈 값이 되어 x=0에서 −1/2가 된다. 어느 방법을 쓰든 처음부터 ln(1+x)를 x와 완전히 같다고 놓아서는 안 된다는 점이 드러났다.

접근 방향과 식의 배치를 바꾼 변형

다음 날에는 유형명과 원래 숫자를 가린 채,

lim_x→0− {ln(1+2x)−2x}/x²

를 제시했다. 학생은 먼저 로그의 정의역을 1+2x>0으로 적었다. 따라서 x가 0의 왼쪽에서 접근하는 것은 허용되고, 충분히 0에 가까운 범위에서는 로그가 정의된다. 이어 ln(1+2x)=2x−(2x)²/2+o(x²)로 두어 분자를 −2x²+o(x²)로 정리했다. 답은 −2였다.

이번에는 문제에 함께 제시된 그래프 정보 일부를 사용하지 않도록 지시했다. 학생은 그래프를 근거로 결론을 정하지 않고, “로그 진수 양수 조건은 후보 옆에 남기되, 극한값 계산에는 직접 사용하지 않는다”라고 따로 표시했다. 조건을 찾는 일과 계산에 실제로 쓰는 정보를 분리한 것이다.

새 매개변수 앞에서도 남은 판단

최종 확인에서는 매개변수 a가 들어간 식을 사용했다.

lim_x→0 {ln(1+ax)−ax}/x²

학생은 곧바로 숫자를 대입하지 않고 먼저 1+ax>0이라는 정의역을 적었다. a가 양수인지 음수인지에 따라 접근 가능한 주변 구간은 달라지지만, 0 근처에서는 양쪽에서 접근할 수 있음을 설명했다. 그 뒤

ln(1+ax)=ax−a²x²/2+o(x²)

를 사용해 극한을 −a²/2로 얻었다. a=0이면 식 전체가 0이 되어 같은 공식도 0을 준다는 점까지 확인했다.

특히 학생은 첫 항 ax를 지운 뒤 멈추지 않고, 남은 첫 비영차항의 차수를 확인했다. 마지막으로 a=−3을 대입한 경우에는 로그 진수 1−3x의 양수 조건을 점검하고, 왼쪽과 오른쪽 모두 0에 충분히 가까운 곳에서는 조건을 만족한다고 설명했다. 정답만 재현한 것이 아니라, 최초 오류를 만들었던 ‘근삿값과 등식의 혼동’을 새로운 표현과 매개변수에서도 스스로 차단한 것이다.