옥련동 중등수학과외

옥련동중등수학과외, y/x와 xy를 계산해 정비례·반비례를 구분하는 확인

정비례와 반비례는 표의 수가 커지거나 작아지는 모습만 보고 판단하면 쉽게 섞입니다. 이번 학습에서는 x=1, 2, 4일 때 y=16, 32, 64인 표와, 같은 x값에 y=64, 32, 16이 대응하는 표를 비교합니다. 첫 표의 관계는 y=16x이고, 두 번째 표는 xy=64입니다. 기본 표의 설명은 가능하지만 두 번째 표에서 어떤 관계를 먼저 확인할지 망설이는 경우라면, 개념을 처음부터 다시 시작하기보다 두 표에서 달라진 조건을 식과 계산으로 분리해 보는 것이 중요합니다.

첫 표에서는 y가 x의 몇 배인지 표시합니다

기본 표에서 각각 y/x를 계산하면 16/1=16, 32/2=16, 64/4=16입니다. x값이 바뀌어도 y/x가 항상 16으로 같으므로 y는 x의 16배이며 y=16x로 나타냅니다. 이것이 정비례인 이유는 y/x가 일정하기 때문입니다. 그래프 카드로 보면 원점을 지나고 x가 1만큼 늘 때마다 y가 16씩 늘어나는 직선의 관계가 됩니다. 여기서 y의 값이 단순히 커진다는 사실보다, ‘y를 x로 나눈 값이 16으로 유지된다’는 계산 근거를 풀이 옆에 적는 것이 핵심입니다. x=4를 식에 대입해 16×4=64가 되는지 확인하면 표의 마지막 값도 원식과 맞습니다.

두 번째 표는 같은 수를 나누지 말고 곱을 비교합니다

비교 표에서는 y값이 64, 32, 16으로 줄어듭니다. 이때 첫 표처럼 y/x를 구하면 64, 16, 4가 되어 일정하지 않습니다. 대신 xy를 계산하면 1×64=64, 2×32=64, 4×16=64로 모두 64입니다. 따라서 이 표는 xy=64, 또는 y=64/x로 나타내는 반비례 관계입니다. 옥련동중등수학과외 수업에서는 두 표를 나란히 쓰고, 첫 표에는 y/x, 두 번째 표에는 xy를 표시하게 합니다. “두 번째 표에서는 xy가 일정한가요?”라는 짧은 질문은 답을 알려 주기 위한 것이 아니라, 무엇을 계산해야 하는지 스스로 선택했는지 확인하는 기준이 됩니다. x가 2배가 될 때 y가 절반이 되는 대응도 곱이 일정하다는 결과와 연결됩니다.

말한 관계와 실제 식이 같은지 비교해 봅니다

풀이를 고칠 때는 ‘정비례’ 또는 ‘반비례’라는 이름만 바꾸지 않습니다. 예를 들어 두 번째 표에 y=16x라고 적었다면 x=2를 넣어 y=32가 되는 한 행만 보고 맞다고 판단할 수 있습니다. 그러나 x=1을 대입하면 y=16이 되어 표의 64와 맞지 않습니다. 반대로 y=64/x에 x=1, 2, 4를 대입하면 각각 64, 32, 16이므로 세 행 모두 복원됩니다. 다음 확인에서는 같은 x값에 y=64, 32, 16이 대응한다는 조건을 먼저 표시한 뒤, y/x와 xy 중 무엇을 계산할지 학생이 선택하게 합니다. 두 표에서 달라진 관계를 말로 설명하고, 선택한 식에 각 x값을 대입해 표를 다시 만들 수 있는지 확인합니다. 이 과정에서 멈춘다면 어느 계산에서 멈췄는지와 식·그래프 표시가 같은 뜻인지 살펴본 뒤, 그 지점부터 다음 변형 과제를 정하는 것이 적절합니다.