옥련동 중1수학과외

그림의 모양보다 표시를 먼저 읽는 직선 풀이

옥련동과외 수업에서 직선 단원을 다루던 학생은 그림이 익숙한지에 따라 풀이 속도가 크게 달라졌다. 럭키아파트와 송도 꽃게거리 인근 생활권, 인송중학교와 옥련중학교가 포함된 지역에서 자주 접하는 문제라도 그림의 방향과 점 이름이 달라지면 새로운 문제처럼 받아들였다. 특히 직선, 반직선, 선분을 구분하고 그림에 실제로 표시된 점과 화살표를 근거로 답해야 하는 문제에서 한 줄의 판단이 자주 흔들렸다.

오답의 한 줄에서 거꾸로 확인한 출발점

문제에는 한 직선 위에 점 A, B, C가 표시되어 있었고, 양쪽 끝에는 화살표가 있었다. 질문은 “점 B를 지나며 점 A를 포함하는 직선”을 고르는 것이었다. 학생은 그림을 보자마자 답안에 직선 BC라고 적었다. B와 C가 가까이 붙어 있어 눈에 먼저 들어왔고, 이전 예제에서 오른쪽 두 점을 이용해 이름을 붙였던 순서를 기억해 적용한 것이다.

그러나 여기서 바로 계산하거나 이름을 고르는 것이 아니라, 문제의 조건을 한 부분씩 표시했어야 했다. 학생의 첫 오류는 직선의 정의를 확인하기 전에 예제의 점 이름 순서를 그대로 가져온 판단이었다. 답 자체가 틀렸다는 사실보다, ‘점 A를 포함한다’는 조건을 읽지 않은 순간 풀이가 어긋나기 시작했다.

직선은 두 점을 지나므로, 문제에서 요구한 점이 실제로 그 두 점 안에 들어 있는지 확인한다.

교정할 때는 이미 알고 있던 방법을 모두 버리지 않았다. 학생은 두 점으로 직선의 이름을 정할 수 있다는 점은 맞게 알고 있었다. 그래서 그림 위에서 조건에 해당하는 점 A와 B에 동그라미를 치고, “A와 B를 모두 지나는가?”를 답 옆에 한 줄로 적게 했다. BC에는 A가 포함되지 않으므로 제외하고, AB와 BA는 같은 직선을 나타낸다는 점을 표시했다. 양쪽에 화살표가 있는 실제 그림의 모양도 함께 확인하자, 선분 AB가 아니라 양방향으로 계속 뻗은 직선이라는 사실까지 답에 반영할 수 있었다.

방향과 이름을 바꾼 문제에서 다시 읽기

다음 문제는 세 점의 배치가 반대였고, 점 이름도 P, Q, R로 바뀌었다. 그림은 왼쪽에 R, 가운데에 P, 오른쪽에 Q가 놓인 직선이었으며, 직선 전체의 양 끝에는 화살표가 표시되어 있었다. 질문은 “점 P를 지나고 점 Q를 포함하는 직선을 두 점으로 나타내라”였다.

학생은 이번에는 그림의 왼쪽부터 읽어 RP라고 쓰려다가 멈췄다. 질문을 “어떤 직선을 찾는가?”에서 “조건에 들어 있는 두 점은 무엇인가?”로 바꾸어 적었다. P와 Q에 밑줄을 긋고, R은 조건에 없으므로 후보에서 제외했다. 따라서 PQ 또는 QP라고 쓸 수 있고, 두 표현은 같은 직선을 가리킨다고 설명했다. 그림이 기울어져 있거나 점의 이름 순서가 달라도 실제 표시와 질문에 주어진 조건이 기준이라는 것을 풀이 한 줄에 남긴 것이다.

• 양끝 화살표가 모두 있으면 선분으로 제한하지 않는다.
• 직선의 이름은 그 위의 두 점으로 나타낼 수 있다.
• 질문에서 요구한 점이 두 점 모두 포함되는지 먼저 확인한다.
• 점의 왼쪽·오른쪽 위치나 이름을 읽는 순서는 직선의 본질을 바꾸지 않는다.

경계가 있는 그림에서 표시를 끝까지 대조하기

변형 문제에서는 한쪽 끝에만 화살표가 있고 다른 쪽 끝은 점 S에서 멈춘 그림이 제시되었다. 학생은 앞 문제의 기억 때문에 이를 직선 ST라고 적으려 했다. 하지만 이번에는 화살표가 한쪽에만 있다는 점과 끝점 S가 실제로 표시되어 있다는 점을 먼저 확인했다. 두 방향으로 끝없이 이어지는 직선이 아니라, S에서 시작해 한쪽으로 뻗는 반직선이라는 설명을 붙이고, 문제에서 요구한 이름의 순서에 따라 반직선 ST로 고쳤다.

이 과정에서 직선과 반직선을 그림의 기울기나 길이로 판단하지 않고, 끝의 표시와 화살표 방향으로 구분했다. 표시되지 않은 연장선을 마음대로 추가하지 않은 것도 중요한 변화였다. 학생은 “그림에 보이는 선의 길이가 짧아서가 아니라, 끝점과 화살표의 표시가 달라서 종류가 달라진다”고 근거를 말할 수 있었다.

힌트 없이 다시 세운 최종 풀이

주말 누적 복습에서는 새 그림을 제시했다. 점 X, Y, Z가 한 줄 위에 있고, 왼쪽 끝에는 화살표, 오른쪽 끝에는 점 Z가 표시되어 있었다. 질문은 “점 Y를 지나 점 Z에서 끝나는 도형을 나타내라”였다. 도움 없이 학생은 먼저 오른쪽 끝의 Z를 확인하고, 화살표가 한쪽에만 있다는 사실을 표시했다. 이어 Y와 Z를 잇는 이름을 쓰되, 끝점이 Z이므로 순서를 바꾸면 의미가 달라질 수 있다고 설명했다.

학생은 답을 적은 뒤 그림과 다시 대조했다. Z가 끝점인지, Y가 도형 위에 있는지, 반대쪽이 화살표로 계속 이어지는지를 하나씩 확인했다. “두 방향 화살표가 아니므로 직선이 아니고, 끝점이 표시되어 있으므로 선분도 아니다. 주어진 두 점과 화살표 방향에 따라 반직선으로 판단했다”고 스스로 풀이를 완성했다. 마지막으로 간단한 그림을 가린 뒤에도 같은 이유를 말하며 재현했으므로, 모양이나 예제 순서가 아니라 직선의 표시와 정의를 근거로 판단하는 과정이 자리 잡았는지 확인할 수 있었다.

이처럼 옥련동중1수학과외에서는 답의 모양을 외우기보다 점, 끝점, 화살표가 실제로 어떻게 표시되었는지를 읽고 조건과 다시 맞춰 보는 직선 풀이를 이어 간다.