시지동 중2수학과외

같은 밑의 거듭제곱 나눗셈에서 멈춰야 할 순간

시지동과외 수업에서 학생은 같은 밑의 거듭제곱을 나누는 식을 풀다가 한 줄에서 계산을 멈췄다. 고산중학교가 포함된 생활권의 문제지에는 다음과 같은 식이 제시되어 있었다.

(3x^5y^2) ÷ (3x^2y), 단 x≠0, y≠0

학생은 먼저 두 계수 3을 약분하고, x와 y를 문자별로 나누어 적었다. x 부분은 x^(5-2)=x^3, y 부분은 y^(2-1)=y로 계산했다. 이어서 원래 식에 x=2, y=3을 넣어 3·2^5·3^2를 3·2^2·3으로 나눈 값과 정리한 식 2^3·3을 비교하려고 했다. 이 과정까지는 계수와 문자 부분을 나누어 보는 판단이 적절했다.

식 전체를 보지 않고 지수법칙을 적용한 한 줄

조건이 바뀐 다음 문항에서 학생의 풀이가 어긋났다.

(2x^4 + 2x^2) ÷ 2x^2

학생은 첫 항과 둘째 항을 따로 나누지 않고, 식을 2x^(4-2+2-2)처럼 한 번에 정리했다. 계산 결과를 2x^2로 적은 뒤, x=1을 대입해 원식과 비교하려 했지만 두 식의 구조가 이미 달라져 있었다.

가장 먼저 잘못 선택한 판단은 덧셈으로 연결된 두 항을 하나의 거듭제곱 나눗셈처럼 취급한 것이었다. 같은 밑의 지수끼리 빼는 법칙은 곱셈이나 나눗셈으로 묶인 문자 부분에 적용할 수 있지만, 덧셈 기호를 사이에 둔 항 전체에는 그대로 적용할 수 없다.

지수 차감 전에 항의 구조를 확인하다

교정은 한 가지 표시로 진행했다. 학생은 나눗셈 기호 앞의 식에 덧셈이 있으면 항을 괄호로 나누어 다시 쓰기로 했다.

(2x^4 + 2x^2) ÷ 2x^2
= (2x^4 ÷ 2x^2) + (2x^2 ÷ 2x^2)
= x^2 + 1

그다음 x=1을 넣었다. 원식은 (2+2)÷2=2이고, 정리한 식도 1+1=2였다. x=2일 때는 원식이 (32+8)÷8=5, 정리한 식이 4+1=5가 되어 두 결과가 일치했다. 이미 맞게 사용했던 계수 약분과 같은 밑의 지수 차감은 그대로 유지하고, 덧셈 앞에서만 항을 분리하는 교정을 적용한 것이다.

식이 아닌 문장과 조건으로 다시 만난 문제

다음 문제는 식을 바로 주지 않고 문장으로 제시되었다.

어떤 수 a를 세 번 곱한 값과 a를 한 번 곱한 값의 곱을, a를 두 번 곱한 값으로 나눈다. 단 a≠0일 때 결과를 간단히 나타내어라.

학생은 문장을 곱셈식으로 바꾸어 (a^3·a)÷a^2라고 적었다. 같은 밑이 모두 a이므로 지수를 먼저 3+1-2로 계산하여 a^2를 얻었다. 그러나 조건이 a≠0이라는 점도 옆에 따로 표시했다. 나눗셈에서 a^2가 분모에 있으므로 a=0을 넣을 수 없다는 이유를 한 문장으로 덧붙였다.

표현을 바꾼 반대 방향의 문항도 풀었다. 결과가 b^4이고 분모가 b^3일 때 나눠지는 식의 문자 부분을 묻자, 학생은 지수 차이를 거꾸로 해석하지 않고 b^4·b^3=b^7이라고 설명했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라 문장과 식, 계산 방향이 달라진 상황에서도 같은 밑인지와 분모 조건을 먼저 확인한 것이다.

힌트 없이 경계와 예외를 설명한 검산

수업 끝에 학생은 다음 식을 혼자 풀었다.

(-2)^5 ÷ (-2)^3

학생은 “밑은 -2로 같고, 분모가 0이 아니므로 지수를 뺄 수 있다”고 먼저 말했다. 따라서 지수는 5-3=2이고 결과는 (-2)^2=4라고 적었다. 이어 원래 계산을 (-2)·(-2)·(-2)·(-2)·(-2)를 (-2)·(-2)·(-2)로 나누는 것으로 풀어 4가 되는지 확인했다.

또한 0을 분모에 넣는 경우에는 같은 밑이라도 나눗셈 자체가 성립하지 않는다고 구분했다. 학생은 “지수만 보고 빼는 것이 아니라, 곱셈·나눗셈으로 연결된 같은 밑인지, 분모가 0이 아닌지, 덧셈으로 묶인 식은 항별로 나눠야 하는지를 순서대로 확인한다”고 스스로 설명했다. 시지동중2수학과외에서 확인한 최종 기준은 바로 이 첫 판단과 조건 검산이었다.