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시지동 고2수학과외

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같은 사람을 뽑았는데 왜 답이 달라졌을까?

학생은 5명 중 3명을 대표로 뽑는 문제에서 순서를 바꾸어 세었다. A, B, C를 뽑은 경우를 ABC, ACB, BAC처럼 따로 세어 답을 구한 것이다. 그러나 대표 선발에서는 누가 선택되었는지만 중요하고, 뽑힌 순서는 결과에 영향을 주지 않는다.

풀이 기록에서 발견한 오류

학생의 계산은 다음과 같았다.

5 × 4 × 3 = 60

이는 첫 번째, 두 번째, 세 번째 자리에 들어갈 사람을 구분한 순열 계산이다. 하지만 대표 3명에게 별도의 역할이 주어지지 않았으므로 같은 세 사람을 여러 번 세고 있다.

두 경우를 직접 비교하기

다음 두 선택을 비교해 보자.

  • A, B, C를 대표로 선택
  • C, A, B를 대표로 선택

선택 순서는 다르지만 대표로 뽑힌 사람의 집합은 같다. 따라서 두 경우는 하나로 세어야 한다.

순열에서 중복된 횟수는 선택된 3명을 배열하는 방법인 3!이다.

5P3 ÷ 3! = (5 × 4 × 3) ÷ (3 × 2 × 1) = 10

따라서 올바른 답은 5C3 = 10이다.

순서를 무시하는지 먼저 판정하기

조합을 사용할지는 계산보다 상황의 의미를 먼저 읽어야 한다. 선택한 뒤 순서를 바꾸어도 같은 결과라면 조합이다.

조합을 사용하는 대표 선발

동아리 회원 8명 중 대표 2명을 뽑는 경우에는 대표의 역할이 구분되지 않는다.

8C2 = 8 × 7 ÷ 2 = 28

순열을 사용하는 역할 배정

8명 중 회장과 부회장을 각각 1명씩 정한다면 역할이 다르다. A가 회장이고 B가 부회장인 경우와 B가 회장이고 A가 부회장인 경우는 서로 다른 결과다.

8P2 = 8 × 7 = 56

즉, ‘몇 명을 뽑는가’만 보지 말고 ‘뽑힌 사람의 자리나 역할이 구분되는가’를 확인해야 한다.

새 문제에 적용하기

10명의 학생 중 4명을 선발하여 토론 대표단을 구성하는 경우, 대표단 안에서 역할을 따로 정하지 않는다면 다음과 같이 계산한다.

10C4 = (10 × 9 × 8 × 7) ÷ (4 × 3 × 2 × 1) = 210

반대로 4명을 뽑아 회장, 기록, 발표, 자료조사 담당을 각각 정한다면 역할이 다르므로 10P4를 사용한다.

판단 기준 정리

상황 순서의 의미 사용할 방법
대표 3명 선발 순서를 바꾸어도 같음 조합
회장·부회장 선출 역할이 다름 순열
경기 출전 선수 4명 선발 단순 선발이면 같음 조합
1등·2등·3등 결정 등수가 다름 순열

최종 확인

조합 문제를 만나면 식부터 쓰지 말고 다음 질문을 먼저 확인한다.

  1. 선택한 뒤 순서를 바꾸어도 같은 결과인가?
  2. 선택된 대상에게 서로 다른 역할이나 자리가 주어지는가?
  3. 같은 원소 집합을 여러 번 세고 있지는 않은가?

순서를 무시하는 선택이면 조합을 사용한다. 시지동과외에서 이 유형을 연습할 때도 대표 선발과 역할 배정의 문장을 비교하며 판단 기준을 먼저 세우면 계산 실수를 줄일 수 있다.

시지동 고2수학과외 학부모 후기

학교 수행평가 준비를 다시 시작한 날, 아이가 문제를 다 푼 뒤 검산할 번호를 따로 추려 놓더라고요. 다음에 어디부터 이어서 볼지도 정해 두어서, 풀이를 잠시 찾을 필요 없이 표시한 곳으로 바로 넘어갔어요. 시지동 수학과외를 알아보며 책상 주변을 정리하다가 문득 예전 시험지를 봤는데, 그때는 왜 그렇게 풀었는지 자료에 남겨 둔 흔적이 거의 없었거든요. 그래서 나중에 다시 확인하려 해도 본인 풀이를 되짚기 어려워했어요. 친구와 공부하고 돌아온 저녁에도 비슷한 장면을 발견했어요. 제가 묻기도 전에 시험지 한쪽에 마지막에 검산할 문제 번호만 모아 두었더라고요. 예전처럼 답을 전부 다시 훑는 대신, 확인할 곳을 먼저 골라 둔 모습이 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기

새 문제집을 펼쳐 둔 날, 지나가다 아이가 시험지를 한참 보고 있는 걸 보게 됐어요. 틀린 문제를 따로 유형별로 옮겨 적은 건 아니고, 원래 시험지 여백에 왜 틀렸는지만 짧게 써두었더라고요. 어디에서 다시 봐야 할지 종이를 펼치자마자 보이는 방식이었어요. 시지동 수학과외를 알아볼 때만 해도 이런 장면은 낯설었습니다. 예전에는 막힌 문제가 있어도 그 자리에 별다른 흔적을 남기지 않아 나중에 다시 펼쳐도 어디가 어려웠는지 알기 힘들었거든요. 이번엔 틀린 이유가 문제 옆에 남아 있어서 지나가며 본 저도 바로 알아볼 수 있더라고요. 새로운 서술형 문제를 풀던 날에도 답만 확인하고 넘어가지 않았습니다. 시험지에 틀린 까닭을 짧게 적어 두고, 나중에 다시 확인할 지점을 그대로 남겨 두었어요. 긴 정리 대신 문제 옆의 한 줄이 눈에 들어왔습니다.

★★★★★학부모 후기

책상 서랍을 정리하다가 그날 공부를 마친 뒤의 문제집을 펼쳐 보게 됐어요. 맨 뒤쪽에 계산하면서 자주 틀리는 습관을 짧게 적어 둔 게 보이더라고요. 예예전에는 다시 살펴볼 내용도 말로만 기억해 두고, 문제집이나 자료에는 따로 남기지 않았거든요. 시지동 수학과외를 알아보던 때와는 별개로 집에서 보이는 모습이 조금 달라졌다고 느꼈어요. 새 학습지를 풀던 저녁에도 반복되는 계산 실수를 길게 적지 않고 짧은 문장으로 정리해 두었더라고요. 예전처럼 머릿속으로만 넘기지 않고, 나중에 다시 볼 곳을 직접 남겨 둔 셈이었어요. 마지막에는 학습지 여기저기에 표시를 흩어 놓은 게 아니라, 다시 확인할 한 곳에만 간단히 체크해 두고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

시지동에서 수학 과외를 시작한 뒤에도 아이는 답이 바로 나오지 않으면 불안해하며 시험 전 공부량을 갑자기 늘리곤 했습니다. 선생님은 틀린 풀이를 처음부터 다시 시키기보다 어디서 어긋났는지 함께 찾고, 아이가 스스로 이어갈 시간을 주셨습니다. 어느 날은 수업 중 먼저 질문하고 설명을 들은 뒤 다시 풀어 보았다는 이야기를 해 작은 변화가 참 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

시지동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 어려운 문제만 붙잡지 않고 쉬운 문제부터 차분히 풀기 시작했습니다. 선생님은 정한 공부량을 지키도록 도와주고, 질문을 망설일 때도 수업 중간에 자연스럽게 확인해 주셨습니다. 시험 범위를 절반쯤 공부했을 때 스스로 앞부분을 다시 복습하는 모습이 보여 꾸준한 변화가 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기

시지동에서 수학 수업을 시작했을 때는 제 풀이를 말로 설명하는 게 어색했고, 시험이 다가오면 불안해서 공부량만 갑자기 늘리곤 했습니다. 선생님은 진도를 잠시 멈추고 기초 문제와 틀린 이유를 함께 정리하며 제 속도에 맞춰 주셨습니다. 복습을 미루는 날에도 다음 날 다시 이어 가는 습관이 생겨 마음이 한결 편해졌습니다.

★★★★★학부모 후기