시지동 고2수학과외







같은 사람을 뽑았는데 왜 답이 달라졌을까?
학생은 5명 중 3명을 대표로 뽑는 문제에서 순서를 바꾸어 세었다. A, B, C를 뽑은 경우를 ABC, ACB, BAC처럼 따로 세어 답을 구한 것이다. 그러나 대표 선발에서는 누가 선택되었는지만 중요하고, 뽑힌 순서는 결과에 영향을 주지 않는다.
풀이 기록에서 발견한 오류
학생의 계산은 다음과 같았다.
5 × 4 × 3 = 60
이는 첫 번째, 두 번째, 세 번째 자리에 들어갈 사람을 구분한 순열 계산이다. 하지만 대표 3명에게 별도의 역할이 주어지지 않았으므로 같은 세 사람을 여러 번 세고 있다.
두 경우를 직접 비교하기
다음 두 선택을 비교해 보자.
- A, B, C를 대표로 선택
- C, A, B를 대표로 선택
선택 순서는 다르지만 대표로 뽑힌 사람의 집합은 같다. 따라서 두 경우는 하나로 세어야 한다.
순열에서 중복된 횟수는 선택된 3명을 배열하는 방법인 3!이다.
5P3 ÷ 3! = (5 × 4 × 3) ÷ (3 × 2 × 1) = 10
따라서 올바른 답은 5C3 = 10이다.
순서를 무시하는지 먼저 판정하기
조합을 사용할지는 계산보다 상황의 의미를 먼저 읽어야 한다. 선택한 뒤 순서를 바꾸어도 같은 결과라면 조합이다.
조합을 사용하는 대표 선발
동아리 회원 8명 중 대표 2명을 뽑는 경우에는 대표의 역할이 구분되지 않는다.
8C2 = 8 × 7 ÷ 2 = 28
순열을 사용하는 역할 배정
8명 중 회장과 부회장을 각각 1명씩 정한다면 역할이 다르다. A가 회장이고 B가 부회장인 경우와 B가 회장이고 A가 부회장인 경우는 서로 다른 결과다.
8P2 = 8 × 7 = 56
즉, ‘몇 명을 뽑는가’만 보지 말고 ‘뽑힌 사람의 자리나 역할이 구분되는가’를 확인해야 한다.
새 문제에 적용하기
10명의 학생 중 4명을 선발하여 토론 대표단을 구성하는 경우, 대표단 안에서 역할을 따로 정하지 않는다면 다음과 같이 계산한다.
10C4 = (10 × 9 × 8 × 7) ÷ (4 × 3 × 2 × 1) = 210
반대로 4명을 뽑아 회장, 기록, 발표, 자료조사 담당을 각각 정한다면 역할이 다르므로 10P4를 사용한다.
판단 기준 정리
| 상황 | 순서의 의미 | 사용할 방법 |
|---|---|---|
| 대표 3명 선발 | 순서를 바꾸어도 같음 | 조합 |
| 회장·부회장 선출 | 역할이 다름 | 순열 |
| 경기 출전 선수 4명 선발 | 단순 선발이면 같음 | 조합 |
| 1등·2등·3등 결정 | 등수가 다름 | 순열 |
최종 확인
조합 문제를 만나면 식부터 쓰지 말고 다음 질문을 먼저 확인한다.
- 선택한 뒤 순서를 바꾸어도 같은 결과인가?
- 선택된 대상에게 서로 다른 역할이나 자리가 주어지는가?
- 같은 원소 집합을 여러 번 세고 있지는 않은가?
순서를 무시하는 선택이면 조합을 사용한다. 시지동과외에서 이 유형을 연습할 때도 대표 선발과 역할 배정의 문장을 비교하며 판단 기준을 먼저 세우면 계산 실수를 줄일 수 있다.