가천동 중3수학과외

가천동 중3수학과외, 수직선에서 관계를 읽는 한 장면

가천동과외 수업에서 대구광역시립수성도서관 인근 생활권의 중3 학생이 실수의 대소를 비교하는 문제를 풀었습니다. 가천동중3수학과외에서는 계산 결과만 확인하지 않고, 서로 다른 표현이 수직선에서 같은 위치 관계를 나타내는지 먼저 살폈습니다.

나란히 적힌 두 표현, 처음 어긋난 순간

문제는 다음과 같았습니다.

수직선에서 점 A의 위치는 -1.6, 점 B의 위치는 -√2이다. A와 B의 위치를 비교하여 부등호로 나타내어라.

학생은 도서관 자습 때처럼 종이에 두 표현을 나란히 썼습니다.

• A: -1.6
• B: -√2
• 학생의 첫 기록: “√2는 1보다 크고, 2보다 작으므로 -√2는 -1과 -2 사이. -1.6과 비교하면 근호가 붙은 B가 더 작다.”

마지막 문장 때문에 학생은 A와 B의 위치를 -√2 < -1.6으로 표시했습니다. 계산을 하지 않은 것이 최종 실수처럼 보이지만, 더 먼저 확인해야 할 판단은 따로 있었습니다. 표현이 -1.6과 -√2로 달라졌을 때, 근호 모양만 보고 왼쪽과 오른쪽을 결정한 것입니다. 실수의 대소는 기호의 모양이 아니라 수직선 위 실제 위치로 판단해야 합니다.

근호를 없애려 하지 않고 위치를 먼저 찾기

이때 교정한 행동은 한 가지였습니다. 두 수를 정수 사이의 위치로 옮겨 수직선에 표시하는 것입니다. 이미 알고 있던 1<√2<2에 음수를 곱하면 부등호 방향이 바뀌므로

-2<-√2<-1

이 됩니다. 따라서 -√2는 -2와 -1 사이에 있습니다. 이제 -1.6의 위치도 같은 구간에 표시합니다. -1.6은 -2에서 오른쪽으로 0.4만큼 떨어진 점이고, -√2는 약 -1.4 부근이므로 -√2가 더 오른쪽입니다. 수직선에서는 왼쪽에 있는 수가 더 작으므로

-1.6<-√2

라고 고쳤습니다. 처음 적은 수직선의 정수 구간과 비교 방식은 유지하고, 근호가 있다는 이유만으로 순서를 정했던 한 부분만 바꾼 셈입니다.

표 대신 방향을 묻는 새 표현

같은 기준이 실제로 남았는지 확인하기 위해 문제의 모양을 바꾸었습니다. 이번에는 두 수의 이름을 주지 않고, 수직선의 일부를 다음처럼 설명했습니다.

점 P는 -3과 -2 사이에 있고, 점 Q는 -2와 -1 사이에 있다. P와 Q 중 어느 점이 왼쪽에 있는가? 또 Q의 위치가 -1.25라면 P의 위치와 어떤 관계인가?

학생은 먼저 “-3과 -2 사이의 점은 -2와 -1 사이의 점보다 왼쪽”이라고 말했습니다. 이어 Q를 -1.25로 놓고, P는 -2보다 크지만 -2보다 작은 쪽 구간 안에 있으므로 P<Q라고 적었습니다. 이전 문제의 숫자나 배열을 그대로 바꾼 것이 아니라, 하나는 구간 설명으로, 다른 하나는 점의 위치와 질문 방향으로 표현을 바꾼 문제였습니다. 그래도 판단 기준은 수직선의 왼쪽과 오른쪽으로 같았습니다.

힌트 없이 다시 세운 비교 기록

며칠 뒤에는 다음 문제를 별도의 도움 없이 제시했습니다.

수직선에서 R은 -0.75에, S는 -1과 0 사이의 수인 -3/4에 표시된다. 두 점의 위치 관계를 부등호로 나타내고, 왜 그런지 설명하라.

학생은 -3/4를 곧바로 -0.75로 바꾸어 적은 뒤, “R과 S는 수직선에서 같은 위치이므로 어느 쪽이 왼쪽이라고 할 수 없다”고 설명했습니다. 이어 -0.75≤-3/4와 -3/4≤-0.75가 모두 성립한다고 확인하고, 두 수가 같다는 뜻으로 정리했습니다. 표현이 소수와 분수로 달라져도 모양을 근거로 판단하지 않고 실제 위치를 맞춘 것입니다. 마지막으로 왼쪽에서 오른쪽으로 읽은 순서와 자신이 쓴 관계 기호가 일치하는지 검산하면서, 실수의 대소를 수직선에서 판단하는 기준을 스스로 재현했습니다.