청주사직동 중2수학과외

경우의 수 풀이를 뒤에서부터 읽어 본 수업

청주사직동과외 수업에서 학생의 경우의 수 오답을 채점 직후 거꾸로 살펴보았다. 청주여자중학교가 포함된 생활권에서 자주 만나는 유형이라고 해서 답만 다시 계산하지 않고, 완성된 식의 마지막 줄부터 선택 과정을 되짚었다. 용두암현대1차아파트가 있는 생활권의 행사 안내문을 소재로 만든 문제였다.

“행사 티셔츠 3가지, 모자 2가지, 이름표 4가지가 있을 때 티셔츠와 모자와 이름표를 하나씩 고르는 방법은 몇 가지인가?”

답이 아니라 첫 갈림을 찾다

학생은 문제에서 ‘하나씩 고른다’에 밑줄을 긋고, 티셔츠 3, 모자 2, 이름표 4를 옆에 적었다. 이어서 3×2×4=24를 계산했다. 그런데 채점된 답안에는 티셔츠와 모자를 고른 뒤 이름표를 붙이는 경우를 24가지로 적어 놓고, 아래에 “모자와 이름표를 먼저 고르는 경우도 24가지”라고 다시 더해 48이라고 결론 내렸다.

학생은 마지막 계산인 24+24를 먼저 가리켰지만, 그 줄 자체가 최초 오류는 아니었다. 앞에서 이미 같은 선택을 순서만 바꾸어 두 번 세고 있었기 때문이다. 티셔츠 1번, 모자 2번, 이름표 3번이라는 한 조합은 ‘티셔츠와 모자를 먼저 선택한 경우’와 ‘모자와 이름표를 먼저 선택한 경우’에 모두 포함될 수 없다. 그러나 학생은 두 문장을 서로 다른 경우라고 표시했다.

수업에서는 답안의 각 줄에 선택 대상을 괄호로 적게 했다. 첫 줄은 (티셔츠, 모자, 이름표), 두 번째 줄은 (모자, 이름표, 티셔츠)로 표시되었다. 순서만 달라졌을 뿐 선택 결과를 나누는 새로운 조건은 없다는 점이 드러났다.

처음 어긋난 줄만 고치기

전체 풀이를 지우지 않고, 학생이 이미 적은 3×2×4를 남겨 두었다. 그다음 “각 물건을 하나씩 정하는 한 번의 선택”이라는 문장을 옆에 붙였다. 티셔츠를 고른 뒤에는 모자 2가지, 그 뒤에는 이름표 4가지가 이어지므로 한 조합은 3×2×4에서 한 번만 세어진다.

따라서 교정은 24+24를 다른 방식으로 계산하는 것이 아니라, 두 번째 순서 선택을 별도 경우로 더하지 않는 것이었다. 학생은 답안에서 중복된 줄에 사선을 긋고, “선택 순서를 바꾸어도 새 경우가 아니다”라고 적었다. 이미 맞았던 곱셈 과정은 그대로 유지한 채, 같은 대상을 다시 세는 판단 하나만 제거했다.

표와 문장으로 바꾼 독립 적용

다음 문제는 숫자만 바꾸지 않았다. 네 칸짜리 안내 표에서 첫 칸에는 입장권 종류가 일반·청소년·가족으로, 둘째 칸에는 입장 시간이 오전·오후로 표시되어 있었다. 셋째 칸은 좌석 구역 A·B·C·D 중 하나를 고르게 했다. 질문은 “오후 입장을 포함한 전체 표의 종류는 몇 개인가?”가 아니라 “오전 입장 표를 제외하고 만들 수 있는 표는 몇 개인가?”였다.

학생은 표를 보고 먼저 시간 칸에서 오후만 남겨 1가지라고 표시했다. 이어 입장권 3가지와 좌석 4가지를 각각 세어 1×3×4=12라고 적었다. 이번에는 ‘오전과 오후를 나누어 각각 계산한 뒤 합친다’고 하지 않았다. 질문에서 제외된 선택을 먼저 지웠고, 남은 각 입장권에 모든 좌석이 대응된다는 이유도 설명했다.

또 다른 문장 문제에서는 “빨강·파랑·초록 중 하나의 색 카드와 숫자 1·2 중 하나를 고른 뒤, 뒷면 무늬는 별·줄무늬 중 하나를 고른다”고 제시했다. 학생은 색 3, 숫자 2, 무늬 2를 세로로 적고 3×2×2=12를 계산했다. “숫자를 먼저 고르는 경우도 따로 더해야 하나요?”라는 질문에는 “같은 카드 구성을 선택 순서만 달리한 것이므로 한 번만 센다”고 답했다.

힌트 없는 마지막 확인

마지막 문제는 학생이 직접 만든 표에서 시작했다. 음료 2종, 컵 3종, 스티커 2종을 조합하되, 컵 1종은 스티커를 붙일 수 없다는 조건이었다. 학생은 컵을 먼저 ‘가능한 컵 2종’으로 줄이고, 음료 2×컵 2×스티커 2=8이라고 적었다.

학생은 “각 선택 단계가 서로 이어지지만, 이미 고른 결과를 다시 다른 순서로 세지 않았기 때문에 곱한다”고 풀이 이유를 설명했다. 이어 가능한 조합을 표의 행으로 나누어 8개인지 확인했고, 경우의 수가 음수가 아니며 전체 선택에서 빠진 제한 조건도 반영되었다고 검산했다. 청주사직동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 답을 맞힌 사실보다, 새로운 조건에서도 중복 여부를 먼저 판단하고 그 근거를 스스로 말한 장면에 있었다.

청주사직동 중2수학과외 학부모 후기

수학 노트를 펼쳐 보니 계산을 시작하기 전에 조건 문장에 먼저 동그라미가 쳐져 있더라고요. 해결하지 못한 부분에는 따로 표시도 남아 있었어요. 예전에는 다시 확인할 때 무엇부터 봐야 할지 정해 두지 않아서 답이나 계산 과정부터 뒤적이는 모습이 많았거든요. 저녁을 먹고 방에 들어갔을 때는 시험지와 자료를 챙기고 있었는데, 한 문제를 다시 풀기 시작하길래 잠깐 지켜봤어요. 풀이를 바로 고치는 대신 시험지에서 조건에 해당하는 부분만 골라 동그라미를 치고, 그 문장을 처음부터 다시 읽은 뒤 손을 움직였습니다. 청주사직동 수학과외를 알아보던 때부터 이런 장면을 기대했던 건 아닌데, 같은 날 노트에서도 조건을 먼저 짚는 순서가 보이더라고요. 이번에는 어디서 막혔는지도 표시로 남겨 두고 다음 계산으로 넘어가더라고요.

★★★★★학부모 후기

책상 서랍을 정리하다가 아이가 풀어 둔 서술형 답안을 보게 됐어요. 답을 통째로 지운 게 아니라 중간에 계산한 부분만 지우고 그 자리부터 다시 써 놓았더라고요. 아무 말 없이 해 둔 흔적이라 더 눈에 들어왔습니다. 예전에는 다시 살펴볼 내용이 있어도 “나중에 보면 돼” 하고 말로만 넘기는 경우가 많았거든요. 이번에는 어디서부터 확인해야 하는지 종이에 남겨 둔 셈이었어요. 청주사직동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 식으로 자기 풀이를 다시 보는 장면이 있었다고 들었습니다. 새 학습지를 풀던 날에도 비슷한 장면을 보게 됐어요. 처음부터 전부 고치지 않고 틀린 중간식부터 손본 다음, 마지막에는 다시 확인할 곳 하나에만 표시해 두었더라고요. 풀이 전체보다 잘못된 부분을 먼저 찾아가는 모습이었습니다.

★★★★★학부모 후기

중간고사를 앞두고 책상 주변을 치우다가 아이가 긴 계산 문제를 풀고 있는 걸 봤어요. 처음부터 다시 시작할 줄 알았는데, 풀이를 전부 지우지 않고 틀린 부분 바로 앞의 줄을 짚어 그 자리부터 이어 가더라고요. 어디서 꼬였는지 찾으려는 모습이 꽤 구체적으로 보이더라고요. 전에는 다시 확인할 범위를 스스로 정하기보다 문제집 순서대로 처음부터 반복하는 편이었거든요. 이번엔 이미 맞게 적은 계산까지 건드리지 않고 필요한 부분만 되짚고 있었습니다. 청주사직동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 기억에 남았어요. 단원평가를 준비하던 밤에는 비슷한 계산 문제를 보자마자 오류가 생긴 줄 앞에서 다시 풀이를 열었어요. 끝까지 해결한 뒤에도 질문할 만한 부분은 지우지 않고 그대로 남겨 둔 채 책상 위 자료를 정리하더라고요.

★★★★☆학부모 후기

시험을 보고 돌아온 아이가 평소보다 조용해 시험 부담이 컸다는 걸 느꼈습니다. 청주사직동 수학과외 선생님은 막힌 문제를 처음 어긋난 부분부터 짚고, 그날 할 일과 다음 복습을 나눠 안내해 주셨습니다. 이제는 모르는 점을 선생님께 먼저 묻고 수업 내용을 집에서도 이야기합니다.

★★★★★학부모 후기

청주사직동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 시험이 다가오면 아는 문제도 답을 몇 번씩 확인하던 아이가 조금 편안해졌습니다. 주말에 늦잠을 자 수업 시간에 집중이 흐트러진 날에도 선생님은 진도만 서두르지 않고 이해한 정도를 살폈고, 수업 시간을 조정한 뒤에는 부모에게 결과뿐 아니라 학습 태도까지 자세히 알려주셨습니다. 요즘은 수업 전에 궁금한 문제를 스스로 표시해두는 모습이 눈에 띕니다.

★★★★☆학부모 후기

어려운 단원을 앞두고도 예전처럼 걱정만 하기보다 수업에서 배운 내용을 집에 와서 종종 설명해 주어 청주사직동에서 과외를 알아보길 잘했다는 생각이 들었습니다. 선생님은 문제 수를 무리하게 늘리지 않고 아이의 생활 일정에 맞춰 숙제와 복습을 나눠 주셨고, 같은 실수는 이유부터 함께 살펴보게 했습니다. 시험기간에 복습을 미루는 날도 있지만 다음 날 다시 이어가는 모습이 보여 조금씩 달라지고 있음을 느낍니다.

★★★★☆학부모 후기