청주사직동 중2수학과외

경우의 수 풀이를 뒤에서부터 읽어 본 수업

청주사직동과외 수업에서 학생의 경우의 수 오답을 채점 직후 거꾸로 살펴보았다. 청주여자중학교가 포함된 생활권에서 자주 만나는 유형이라고 해서 답만 다시 계산하지 않고, 완성된 식의 마지막 줄부터 선택 과정을 되짚었다.

“행사 티셔츠 3가지, 모자 2가지, 이름표 4가지가 있을 때 티셔츠와 모자와 이름표를 하나씩 고르는 방법은 몇 가지인가?”

답이 아니라 첫 갈림을 찾다

학생은 문제에서 ‘하나씩 고른다’에 밑줄을 긋고, 티셔츠 3, 모자 2, 이름표 4를 옆에 적었다. 이어서 3×2×4=24를 계산했다. 그런데 채점된 답안에는 티셔츠와 모자를 고른 뒤 이름표를 붙이는 경우를 24가지로 적어 놓고, 아래에 “모자와 이름표를 먼저 고르는 경우도 24가지”라고 다시 더해 48이라고 결론 내렸다.

학생은 마지막 계산인 24+24를 먼저 가리켰지만, 그 줄 자체가 최초 오류는 아니었다. 앞에서 이미 같은 선택을 순서만 바꾸어 두 번 세고 있었기 때문이다. 티셔츠 1번, 모자 2번, 이름표 3번이라는 한 조합은 ‘티셔츠와 모자를 먼저 선택한 경우’와 ‘모자와 이름표를 먼저 선택한 경우’에 모두 포함될 수 없다. 그러나 학생은 두 문장을 서로 다른 경우라고 표시했다.

수업에서는 답안의 각 줄에 선택 대상을 괄호로 적게 했다. 첫 줄은 (티셔츠, 모자, 이름표), 두 번째 줄은 (모자, 이름표, 티셔츠)로 표시되었다. 순서만 달라졌을 뿐 선택 결과를 나누는 새로운 조건은 없다는 점이 드러났다.

처음 어긋난 줄만 고치기

전체 풀이를 지우지 않고, 학생이 이미 적은 3×2×4를 남겨 두었다. 그다음 “각 물건을 하나씩 정하는 한 번의 선택”이라는 문장을 옆에 붙였다. 티셔츠를 고른 뒤에는 모자 2가지, 그 뒤에는 이름표 4가지가 이어지므로 한 조합은 3×2×4에서 한 번만 세어진다.

따라서 교정은 24+24를 다른 방식으로 계산하는 것이 아니라, 두 번째 순서 선택을 별도 경우로 더하지 않는 것이었다. 학생은 답안에서 중복된 줄에 사선을 긋고, “선택 순서를 바꾸어도 새 경우가 아니다”라고 적었다. 이미 맞았던 곱셈 과정은 그대로 유지한 채, 같은 대상을 다시 세는 판단 하나만 제거했다.

표와 문장으로 바꾼 독립 적용

다음 문제는 숫자만 바꾸지 않았다. 네 칸짜리 안내 표에서 첫 칸에는 입장권 종류가 일반·청소년·가족으로, 둘째 칸에는 입장 시간이 오전·오후로 표시되어 있었다. 셋째 칸은 좌석 구역 A·B·C·D 중 하나를 고르게 했다. 질문은 “오후 입장을 포함한 전체 표의 종류는 몇 개인가?”가 아니라 “오전 입장 표를 제외하고 만들 수 있는 표는 몇 개인가?”였다.

학생은 표를 보고 먼저 시간 칸에서 오후만 남겨 1가지라고 표시했다. 이어 입장권 3가지와 좌석 4가지를 각각 세어 1×3×4=12라고 적었다. 이번에는 ‘오전과 오후를 나누어 각각 계산한 뒤 합친다’고 하지 않았다. 질문에서 제외된 선택을 먼저 지웠고, 남은 각 입장권에 모든 좌석이 대응된다는 이유도 설명했다.

또 다른 문장 문제에서는 “빨강·파랑·초록 중 하나의 색 카드와 숫자 1·2 중 하나를 고른 뒤, 뒷면 무늬는 별·줄무늬 중 하나를 고른다”고 제시했다. 학생은 색 3, 숫자 2, 무늬 2를 세로로 적고 3×2×2=12를 계산했다. “숫자를 먼저 고르는 경우도 따로 더해야 하나요?”라는 질문에는 “같은 카드 구성을 선택 순서만 달리한 것이므로 한 번만 센다”고 답했다.

힌트 없는 마지막 확인

마지막 문제는 학생이 직접 만든 표에서 시작했다. 음료 2종, 컵 3종, 스티커 2종을 조합하되, 컵 1종은 스티커를 붙일 수 없다는 조건이었다. 학생은 컵을 먼저 ‘가능한 컵 2종’으로 줄이고, 음료 2×컵 2×스티커 2=8이라고 적었다.

학생은 “각 선택 단계가 서로 이어지지만, 이미 고른 결과를 다시 다른 순서로 세지 않았기 때문에 곱한다”고 풀이 이유를 설명했다. 이어 가능한 조합을 표의 행으로 나누어 8개인지 확인했고, 경우의 수가 음수가 아니며 전체 선택에서 빠진 제한 조건도 반영되었다고 검산했다. 청주사직동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 답을 맞힌 사실보다, 새로운 조건에서도 중복 여부를 먼저 판단하고 그 근거를 스스로 말한 장면에 있었다.