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청주사직동 고2수학과외

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검산 직전에 발견된 누락

학생의 답은 x=\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}였다. 하지만 원래 조건에서 빠진 해가 있는지 확인하려고 역추적하자, 치환한 각의 범위를 바꾸지 않은 것이 원인이었다. 이런 유형은 청주사직동과외 수업에서도 계산보다 변수의 범위 변환을 먼저 점검해야 한다.

문제와 학생 풀이

다음 방정식을 만족하는 0\le x\le2\pi에서의 모든 해를 구하자.

\(\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}\)

학생은 \(t=2x-\frac{\pi}{3}\)으로 치환한 뒤, \(x\)의 범위인 \(0\le x\le2\pi\)를 그대로 \(t\)의 범위처럼 사용했다.

따라서 \(0\le t\le2\pi\)에서 \(t=\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\)만 골라 \(x=\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)를 얻었다.

새로운 각의 범위를 다시 설정하기

치환과 범위 변환

\(t=2x-\frac{\pi}{3}\)이라 두면, \(0\le x\le2\pi\)에서

\[ -\frac{\pi}{3}\le t\le\frac{11\pi}{3} \]

이다. 따라서 기준방정식은 \(\sin t=\frac{\sqrt3}{2}\)이고, 이 범위에서 가능한 값은

\[ t=\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3} \]

이다.

원래 변수로 복원

\[ x=\frac{t+\frac{\pi}{3}}{2} \]

이므로 각각

\[ x=\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2} \]

를 얻는다.

오답 선택지와 최종 확인

오답은 \(t\)를 \(0\le t\le2\pi\)에서만 찾았기 때문에 \(t=\frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3}\)을 놓친 경우다. 두 변수를 혼동하지 않으려면 치환 직후 새 각의 범위를 별도로 적어야 한다.

실제로 네 값을 원래 식에 대입하면 모두 \(2x-\frac{\pi}{3}\)가 사인값 \(\frac{\sqrt3}{2}\)를 만드는 각이므로 조건을 만족한다. 따라서 정답은

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}} \]

청주사직동 고2수학과외 학부모 후기

계산 숙제를 펼쳐 보니 아이가 두 풀이를 종이 양쪽에 나눠 적어 놓았더라고요. 답만 맞춰 본 게 아니라 두 식을 한 줄씩 비교하면서 서로 달라지는 지점에 표시해 둔 모습이 먼저 눈에 띄었어요. 방학 숙제를 시작한 오전이었고, 책과 프린트를 정리하던 중에 발견했습니다. 예예전에는 오답이 나와도 한 부분만 대충 다시 보고 넘어가는 일이 많았는데, 그날에는 처음 어긋난 단계까지 찾아서 따로 표시하고 있었습니다. 청주사직동 수학과외 이야기를 나누며 기대했던 건 이런 구체적인 장면이었는데, 막상 집에서 보니 꽤 분명하게 느껴지더라고요. 이후 다른 계산 숙제를 펼쳤을 때도 두 풀이를 나란히 적은 뒤 가장 먼저 달라진 단계를 표시했어요. 확인한 부분 옆에는 작은 표시 하나만 남겨 두었고, 전처럼 답만 훑고 지나가지는 않더라고요.

★★★★★학부모 후기

월요일 아침 아이 가방을 챙겨주다가 문제집을 펼쳐 봤는데, 그래프 문제 옆에 교점 위치만 동그랗게 표시되어 있더라고요. 계산 결과를 그래프에 다시 찍어 둔 흔적이어서 잠깐 눈길이 갔어요. 청주사직동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 부분을 유심히 보게 됐습니다. 예전에는 답이 틀린 걸 알아도 계산한 줄 앞뒤를 이어서 살피지는 않았거든요. 그런데 이번에는 구한 교점을 그래프에 옮긴 다음, 그 위치가 식에서 나온 결과와 맞는지 되짚어 보고 있더라고요. 단순히 답만 고치는 모습과는 조금 달랐습니다. 서술형 숙제를 쓰던 밤에도 계산한 교점을 그래프에 다시 나타내고, 확인한 지점만 짧게 표시해 두었어요. 문제를 풀고 지나간 게 아니라 결과가 그래프 안에서 맞는 자리인지 한 번 더 짚은 모습이었습니다.

★★★★★학부모 후기

시험을 앞두고 아이가 틀린 문제를 다시 펼쳐보는 모습을 옆에서 보니 예전처럼 막막해하기보다 먼저 해야 할 일을 찾고 있어 기억에 남았습니다. 청주사직동 수학과외 선생님은 질문을 어려워하는 성향을 배려해 수업 전 질문을 억지로 요구하지 않고, 시험 기간에는 밀린 숙제를 나눠 우선순위와 복습 순서를 차분히 정해 주셨습니다. 수업 후 아이도 무엇을 다시 봐야 하는지 알겠다며 한결 편하게 이야기했습니다.

★★★★★학부모 후기

주말에 늦잠을 자 수업 시간을 조정한 날에도 선생님은 청주사직동까지 일정에 맞춰 편하게 수업을 이어가 주셨습니다. 시험 기간에는 아이의 학습 태도와 이해 정도를 부모에게 자세히 알려 주셨고, 아이도 수업 전 질문할 문제를 표시해 두며 수학을 대하는 마음이 한결 여유로워졌습니다.

★★★★★학부모 후기

청주사직동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 수업 전에 무엇을 물어볼지 정리하지 못하고 집중도 금방 흐트러졌습니다. 숙제에서 막힌 문제가 많아 시험을 앞두고 부담을 느끼던 날에도 선생님은 틀렸다고 바로 지적하지 않고 생각이 달라진 지점을 함께 찾아 주셨습니다. 이제는 수업에서 궁금했던 내용을 먼저 꺼내 말하고, 숙제도 전보다 차분히 돌아보는 모습이 눈에 띕니다.

★★★★★학부모 후기