청주사직동 고2수학과외







검산 직전에 발견된 누락
학생의 답은 x=\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}였다. 하지만 원래 조건에서 빠진 해가 있는지 확인하려고 역추적하자, 치환한 각의 범위를 바꾸지 않은 것이 원인이었다. 이런 유형은 청주사직동과외 수업에서도 계산보다 변수의 범위 변환을 먼저 점검해야 한다.
문제와 학생 풀이
다음 방정식을 만족하는 0\le x\le2\pi에서의 모든 해를 구하자.
\(\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}\)
학생은 \(t=2x-\frac{\pi}{3}\)으로 치환한 뒤, \(x\)의 범위인 \(0\le x\le2\pi\)를 그대로 \(t\)의 범위처럼 사용했다.
따라서 \(0\le t\le2\pi\)에서 \(t=\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\)만 골라 \(x=\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)를 얻었다.
새로운 각의 범위를 다시 설정하기
치환과 범위 변환
\(t=2x-\frac{\pi}{3}\)이라 두면, \(0\le x\le2\pi\)에서
\[ -\frac{\pi}{3}\le t\le\frac{11\pi}{3} \]
이다. 따라서 기준방정식은 \(\sin t=\frac{\sqrt3}{2}\)이고, 이 범위에서 가능한 값은
\[ t=\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3} \]
이다.
원래 변수로 복원
\[ x=\frac{t+\frac{\pi}{3}}{2} \]
이므로 각각
\[ x=\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2} \]
를 얻는다.
오답 선택지와 최종 확인
오답은 \(t\)를 \(0\le t\le2\pi\)에서만 찾았기 때문에 \(t=\frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3}\)을 놓친 경우다. 두 변수를 혼동하지 않으려면 치환 직후 새 각의 범위를 별도로 적어야 한다.
실제로 네 값을 원래 식에 대입하면 모두 \(2x-\frac{\pi}{3}\)가 사인값 \(\frac{\sqrt3}{2}\)를 만드는 각이므로 조건을 만족한다. 따라서 정답은
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2}} \]