청주사직동 고1수학과외
행렬 곱에서 모든 성분을 계산하지 않아도 되는 이유
청주사직동의 한 수학 학습 장면에서 학생은 두 행렬의 곱을 구하며 결과 행렬의 성분을 처음부터 끝까지 계산하려 했다. 특히 문제에서 특정 성분 하나만 요구했는데도 전체 곱셈을 진행하면서 계산량이 불필요하게 늘어났다.
필요한 성분의 위치부터 찾다
예를 들어
A=\(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\), B=\(\begin{pmatrix}2&1\\0&3\\1&2\end{pmatrix}\)
일 때 \(AB\)의 \((2,1)\)성분만 묻는다면 학생은 행렬 전체를 계산할 필요가 없다. \((2,1)\)성분은 A의 2행과 B의 1열을 대응시켜
\(4\cdot2+5\cdot0+6\cdot1=14\)
로 바로 구한다. 처음에는 B의 다른 열까지 계산했지만, 교정 과정에서는 “구하려는 성분의 행과 열만 사용한다”는 기준을 풀이 첫 줄에 적었다.
행과 열의 대응을 계산 기준으로 삼기
학생은 결과 행렬의 위치를 먼저 표시한 뒤, 그 위치에 필요한 원래 행렬의 행과 열만 찾아 연결했다. 이 방법을 사용하자 사용하지 않는 성분을 계산하다가 부호나 곱셈을 잘못 옮기는 일이 줄었고, 계산 과정도 짧아졌다.
- 결과에서 요구한 성분의 행 번호를 A에서 찾는다.
- 열 번호를 B에서 찾는다.
- 두 벡터의 같은 위치 성분을 곱해 합한다.
중요한 점은 행렬의 곱셈이 성분별 곱이 아니라 “앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열”의 대응으로 결정된다는 사실이었다.
표현이 바뀐 문제에 적용하다
다음 문제에서는 전체 행렬을 구하지 않고, \(AB\)의 1행 2열 성분과 \(BA\)의 1행 2열 성분을 비교하게 했다. 학생은 두 곱의 행과 열을 각각 다시 확인했다. \(AB\)에서는 A의 1행과 B의 2열을 사용하고, \(BA\)에서는 B의 1행과 A의 2열을 사용해야 하므로 두 계산에 같은 성분을 재사용할 수 없다는 점도 구분했다.
행렬의 크기가 곱셈 가능하도록 맞는지 확인한 뒤 필요한 행과 열만 계산하자, 전체 결과를 구하지 않아도 비교 대상의 값을 정확히 얻을 수 있었다.
새 행렬로 계산 구조를 검증하다
마지막에는 문자 성분이 포함된 행렬에서 특정 위치의 성분을 구하게 했다. 학생은 숫자를 임의로 대입하지 않고, 먼저 해당 성분이 어느 행과 열의 내적에서 나오는지 식으로 나타냈다. 그 뒤 원래 행렬의 행·열 위치와 계산식의 항 개수가 일치하는지 확인했다.
이를 통해 계산 속도만 높인 것이 아니라, 행렬 곱의 각 성분이 정해지는 구조를 스스로 설명할 수 있게 되었다.