탕정지구 고2수학과외







최고점의 높이를 확률로 착각한 순간
정규분포 문제의 오답 선택지를 비교하던 학생은 평균에서 가장 높은 곡선의 높이를 확률 0.5라고 판단했다. 하지만 그래프의 높이는 특정 값에서의 밀도이고, 확률은 구간 아래의 넓이이다. 이 구분이 정규분포 문제를 푸는 출발점이다.
그래프에서 먼저 확인한 기준
정규분포 곡선 전체 아래의 넓이는 1이다. 평균을 기준으로 좌우 대칭이므로 평균보다 작은 부분과 큰 부분의 넓이는 각각 전체의 절반이다.
따라서 확률변수 \(X\)가 평균 \(\mu\), 표준편차 \(\sigma\)인 정규분포를 따르면
\[ P(X\le \mu)=P(X\ge \mu)=0.5 \]
하나의 식으로 오류를 바로잡기
평균 이상과 이하의 확률
예를 들어 \(X\sim N(70,10^2)\)일 때 평균은 70이다. 정규분포의 모양이나 표준편차의 크기와 관계없이 평균을 기준으로 넓이가 똑같이 나뉜다.
\[ P(X\ge70)=0.5,\qquad P(X\le70)=0.5 \]
여기서 \(x=70\)에서의 곡선 높이를 구한 것이 아니다. \(70\)의 왼쪽 또는 오른쪽에 있는 영역의 넓이를 구한 것이다. 한 점에서의 확률은 연속확률분포에서 0이며, 곡선의 높이와 구간 확률은 서로 다른 개념이다.
오답 선택지 판별
- 곡선 전체 넓이가 1이라는 설명: 옳다.
- 평균 왼쪽 넓이가 0.5라는 설명: 옳다.
- 평균에서의 곡선 높이가 0.5이므로 확률도 0.5라는 설명: 높이와 넓이를 혼동한 오류다.
최종 검증과 적용
평균을 기준으로 양쪽이 대칭인지, 구하려는 값이 높이가 아니라 영역의 넓이인지 확인하면 같은 유형의 문제를 안정적으로 판단할 수 있다. 정규분포의 총넓이 1과 반쪽 넓이 0.5를 기준으로 삼으면 된다.
탕정지구과외에서 이 유형을 다룰 때도 계산보다 먼저 그래프의 어느 부분을 확률로 읽는지 확인하면, 평균 이상·이하 확률을 빠르게 구하면서도 오답의 원인을 분명히 설명할 수 있다.