탕정지구 중2수학과외

외심을 찾는 기준을 도형의 방향에 묶지 않기

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처음 풀이에서 멈춘 한 줄

문제에는 삼각형 ABC와 점 O가 제시되어 있었고, O에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같다는 조건이 문장으로 주어졌다. 학생은 먼저 그림에서 AB의 중점을 표시하고, 그 점과 O를 연결한 선을 수직으로 그으려 했다. 그러나 AB가 수평으로 놓이지 않은 그림을 보자 선을 어느 방향으로 그어야 할지 보류했다.

그 뒤 학생은 A와 B를 대응시키는 과정에서 곧바로 “두 삼각형이 합동이므로 이 선은 수직이다”라고 적었다. 여기서 풀이가 어긋났다. 합동을 먼저 선택한 것이 아니라, 외심의 정의와 수직이등분선의 성질 중 무엇을 사용해야 하는지 구분하지 않은 것이 최초의 잘못된 판단이었다. 점 O가 외심이라는 사실을 확인하기 전에 그림의 모양과 선의 방향부터 결정하려 했기 때문이다.

O가 외심이라면 OA=OB=OC이고, OA=OB인 점 O는 선분 AB의 수직이등분선 위에 있다.

정의와 성질을 한 문장씩 분리하다

교정은 한 가지 연결만 되짚는 방식으로 진행했다. 학생은 문제의 조건 옆에 ‘정의’와 ‘따라오는 성질’을 나누어 적었다. 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점을 삼각형의 외심이라고 먼저 기록하고, 두 점 A와 B에서 같은 거리에 있는 점은 AB의 수직이등분선 위에 있다는 관계를 이어 적었다.

따라서 OA=OB에서 O가 AB의 수직이등분선 위에 있음을 설명하고, 같은 방식으로 OB=OC에서는 BC의 수직이등분선 위에 있음을 확인했다. 두 수직이등분선의 교점이 O이므로, AB와 BC를 그림에서 억지로 수평·수직으로 맞출 필요가 없었다. 학생은 이미 적어 둔 거리 표시와 두 선분의 이름은 그대로 유지하고, 첫 판단만 ‘선의 방향’에서 ‘같은 거리를 나타내는 조건’으로 바꾸었다.

그림이 아닌 문장과 대응시키기

다음 문항은 보기 그림 없이 “점 P가 삼각형 XYZ의 두 변 XY, XZ의 수직이등분선 위에 있다”고 서술되어 있었다. 학생은 이번에는 P를 외심이라고 바로 단정하지 않고, 각 문장을 조건으로 바꾸었다.

• P가 XY의 수직이등분선 위에 있으므로 PX=PY
• P가 XZ의 수직이등분선 위에 있으므로 PX=PZ
• 따라서 PY=PZ이고, P는 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점이다

이때 교사는 숫자를 바꾼 비슷한 문제 대신, 도형을 회전한 그림을 제시했다. 이번 그림에서는 YZ가 위쪽에 있고, P가 삼각형 바깥쪽에 표시되어 있었다. 학생은 위치나 방향을 근거로 외심을 판단하지 않고, 먼저 두 수직이등분선에 해당하는 조건을 찾아 같은 거리 관계를 적었다. 외심이 삼각형 안에만 있다는 식의 잘못된 판단도 하지 않았다.

합동을 사용할 때와 사용하지 않을 때

표현을 바꾼 또 다른 문제에서는 선분 AB의 중점 M과 OM⊥AB가 먼저 주어지고, 점 O가 외심인지 물었다. 학생은 이번에는 정의를 거꾸로 확인했다. M이 AB의 중점이므로 AM=BM이고, OM은 공통인 선분이다. 또 각 AMO와 BMO가 직각이므로 두 직각삼각형을 합동으로 연결하여 OA=OB를 얻었다.

다만 이 합동은 외심을 찾는 첫 기준이 아니라, 이미 주어진 수직이등분선 조건에서 OA=OB를 확인하는 보조 과정으로 사용했다. 학생은 풀이 옆에 “수직이등분선이면 같은 거리, 같은 거리이면 수직이등분선”이라고 적어 두고, 정의와 성질의 방향을 구별했다.

힌트 없이 다시 세운 판단

검증 문제에서는 삼각형 DEF를 회전한 그림과 함께 “점 Q가 DE와 EF의 수직이등분선의 교점”이라는 문장이 주어졌다. 학생은 도움을 기다리지 않고 첫 줄에 “Q가 DE의 수직이등분선 위에 있으므로 QD=QE”라고 썼다. 이어 “Q가 EF의 수직이등분선 위에 있으므로 QE=QF”라고 적어 QD=QE=QF를 만들었다.

학생은 마지막에 “세 꼭짓점 D, E, F까지의 거리가 모두 같으므로 Q는 외심이다. 그림을 회전해도 수직이등분선과 같은 거리의 관계는 변하지 않는다”고 설명했다. 이어 자신이 구한 QD=QF를 원래 두 조건에 다시 대입해 두 등식이 모두 성립하는지 확인했다. 이번에는 대응점을 먼저 정하거나 그림의 방향을 기억하지 않고, 조건에서 거리 관계를 세운 뒤 외심이라는 결론으로 이동했다. 탕정지구중2수학과외 수업의 최종 확인은 정답보다 이 첫 판단과 검산 근거를 스스로 재현했는지에 두었다.