차암동 중3수학과외

차암동 생활권 중3수학과외, 산점도의 한 점을 끝까지 읽는 연습

차암동과외 수업에서 산점도 문제를 풀던 중, 학생은 도서관 자습 시간에 기록한 자료를 점으로 나타낸 그림을 살펴보았다. 차암동중3수학과외에서 다룬 핵심은 산점도의 모양을 막연히 보는 것이 아니라, 가로축과 세로축의 변량을 확인한 뒤 각 점을 두 값의 한 쌍으로 읽는 것이었다. 대림아파트와 두정역마을이 있는 생활권에서 접할 수 있는 자료를 예로 들었지만, 특정 장소의 실제 이용을 전제로 하지는 않았다.

높이만 보고 시작한 풀이

문제의 산점도에는 가로축이 ‘자습 시간(시간)’, 세로축이 ‘푼 문제 수(개)’라고 적혀 있었다. 점 P는 (2, 18), 점 Q는 (4, 21), 점 R은 (5, 13), 점 S는 (6, 25)에 해당했다. 질문은 다음과 같았다.

“자습 시간이 5시간 이상인 자료 중에서 푼 문제 수가 20개 이하인 점을 찾고, 그 점이 나타내는 두 변량을 쓰시오.”

학생은 그림에서 가장 낮게 찍힌 점 R을 먼저 가리키며 “13개이므로 조건에 맞는다”고 적었다. 이어서 답을 13개라고만 썼다. 숫자 자체는 R의 세로축 값이었지만, 풀이가 틀어진 최초의 지점은 계산이 아니었다. 학생은 조건에 들어 있는 ‘자습 시간이 5시간 이상’이라는 말을 확인하지 않은 채 점의 높이만 읽었다. 산점도의 한 점은 세로축 값 하나가 아니라 가로축과 세로축의 대응값인데, R의 위치를 한 쌍으로 보지 않은 것이다.

R을 낮은 점이 아니라 한 쌍으로 다시 읽기

교정에서는 풀이 전체를 다시 쓰지 않고, 바로 그 판단만 고쳤다. 먼저 문제의 두 조건을 축 옆에 짧게 표시했다.

• 가로축 조건: 자습 시간 ≥ 5
• 세로축 조건: 푼 문제 수 ≤ 20

그다음 각 점을 (가로축 값, 세로축 값)의 순서로 읽었다. P=(2,18)은 자습 시간이 5시간보다 작으므로 제외했다. Q=(4,21)도 가로축 조건을 만족하지 않는다. R=(5,13)은 자습 시간 5시간, 푼 문제 수 13개이므로 두 조건을 모두 만족한다. S=(6,25)는 자습 시간은 충분하지만 푼 문제 수가 20개를 넘는다.

따라서 답은 “R, 즉 자습 5시간에 13문제를 푼 자료”라고 고쳤다. 처음에 적은 13이라는 세로축 값은 그대로 활용하되, 그 값만 제시하지 않고 대응하는 가로축 값 5까지 함께 설명했다. ‘낮은 점인가’를 먼저 판단하는 대신, 조건이 걸린 축을 각각 확인하고 한 점의 두 좌표를 함께 읽는 것이 이번 교정의 전부였다.

축의 순서가 바뀐 그림에서 다시 판단하기

며칠 뒤에는 같은 자료를 표현만 바꾼 문제를 제시했다. 이번 산점도는 가로축이 ‘푼 문제 수’, 세로축이 ‘자습 시간’이었다. 점 A는 (18,2), 점 B는 (21,4), 점 C는 (13,5), 점 D는 (25,6)으로 표시되었다. 질문도 순서를 바꾸어 제시했다.

“자습 시간이 5시간 이상이고, 푼 문제 수가 20개 이하인 자료의 이름과 두 변량을 쓰시오.”

학생은 먼저 세로축에서 5 이상인 점 C와 D를 골랐다. 이후 이번에는 가로축이 문제 수라는 사실을 확인하고, C=(13,5)는 문제 수 13개와 자습 시간 5시간이므로 조건에 맞고 D=(25,6)는 문제 수가 20개를 넘어 제외된다고 설명했다. 앞선 그림과 축의 순서는 달라졌지만, 점을 읽을 때 항상 “가로축 값, 세로축 값”의 순서를 유지했다. 같은 자료인지보다 현재 그림의 축 이름과 질문 속 조건 위치를 먼저 대조한 점이 중요했다.

힌트 없이 만든 마지막 확인

마지막에는 도움 없이 새로운 그림을 읽게 했다. 이번 산점도의 가로축은 ‘완성한 문제 수’, 세로축은 ‘오답 수’였고, 점 M은 (12,3), N은 (18,7), O는 (24,4), T는 (30,9)였다. 질문은 “완성한 문제 수가 20개 이상인 자료 중 오답 수가 5개 미만인 점을 고르고, 두 변량의 대응을 설명하시오”였다.

학생은 축 이름을 먼저 읽고, 가로축 조건을 만족하는 O와 T만 남겼다. O는 (24,4)이므로 문제를 24개 완성하고 오답이 4개이며, T는 오답이 9개라서 제외된다고 말했다. 이어 “O의 24는 가로축의 완성한 문제 수이고 4는 세로축의 오답 수이므로, 세로값 4만 보고 고른 것이 아니다”라고 덧붙였다. 마지막으로 O의 두 값을 그림의 해당 위치와 다시 대조해, 조건 두 개와 점의 대응이 모두 맞는지 검산했다.

점의 높이나 낮음만 먼저 판단하지 않고, 현재 그림의 가로축·세로축 이름, 조건이 적용되는 축, 한 점의 두 값을 차례로 확인하면 예외 조건이 있는 문제도 스스로 읽어낼 수 있다.