차암동 고등수학과외
차암동 고등수학과외에서는 서술형 답을 맞히는 데 그치지 않고, 문제에 나온 조건이 풀이에서 어떤 순서로 사용됐는지 글로 드러내는 연습을 진행합니다. 천안두정고등학교나 천안쌍용고등학교 학생들이 학교 자료를 정리할 때도 기준 사건, 경과 기간, 범위 조건을 따로 표시하면 풀이의 빈틈을 찾기 쉽습니다. 대림아파트와 두정역마을에서 생활하는 학생과 함께 기준일과 16일 뒤를 연결한 조건 문제를 살펴보았습니다.
기준 사건과 16일 뒤를 하나의 수로 놓기
문제는 다음과 같았습니다. 기준 사건이 일어난 날을 0일로 하고, 어떤 사건이 기준일로부터 x일 뒤에 일어났다고 하자. 16일 이내에서 x는 3의 배수이고, 기준 사건에서 16일 뒤까지의 남은 기간 16-x는 5의 배수일 때 x를 구하는 서술형 문제였습니다.
조건을 식으로 바꾸면
0≤x≤16, x=3의 배수, 16-x=5의 배수
가 됩니다. 여기서 단순히 “3의 배수인 날”만 찾는 것이 아니라 두 조건을 모두 만족해야 합니다. 학생은 처음에 0, 3, 6, 9, 12, 15를 적은 뒤 9를 답으로 골랐습니다. 기준일에서 9일 뒤라는 계산이 자연스럽게 보였지만, 16-9=7이므로 남은 기간이 5의 배수가 아닙니다. 첫 오류는 후보를 만든 뒤 두 번째 조건을 확인하지 않고 답을 확정한 순간에 생겼습니다.
조건을 다시 쓰고 역순으로 확인하기
풀이를 지우고 조건을 사용한 흔적부터 다시 적었습니다. 먼저 x가 3의 배수라는 조건으로 후보를 만들고, 그다음 각 후보에 대해 16-x를 계산했습니다.
- x=0이면 16은 5의 배수가 아니다.
- x=3이면 13은 5의 배수가 아니다.
- x=6이면 10은 5의 배수이다.
- x=9이면 7은 5의 배수가 아니다.
- x=12이면 4는 5의 배수가 아니다.
- x=15이면 1은 5의 배수가 아니다.
따라서 답은 x=6입니다. 이번에는 같은 결론을 반대 방향으로 확인했습니다. 먼저 16-x가 5의 배수가 되도록 x를 찾으면 x는 1, 6, 11, 16 중 하나입니다. 이 네 수 가운데 3의 배수인 수는 6뿐입니다. 조건을 적용하는 순서를 거꾸로 바꾸어도 후보가 하나로 모이는지 확인하면서, 앞선 풀이에서 빠졌던 검토 단계를 보완했습니다.
보기가 사라지고 구간이 넓어졌을 때
다음 문제에서는 보기를 주지 않고 범위를 0≤x≤28로 넓혔습니다. 조건은 x가 4의 배수이고 20-x가 3의 배수인 경우였습니다. 학생은 먼저 4의 배수인 수 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28을 적은 뒤 20-x를 계산했습니다. 8에서는 12, 20에서는 0이 되어 두 수가 조건을 만족합니다.
이번에는 답을 고른 뒤 멈추지 않고, 반대로 20-x가 3의 배수라는 조건에서 x를 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29처럼 정리했습니다. 범위 안 후보와 4의 배수 조건을 겹치면 8과 20만 남습니다. 보기 없이도 조건을 직접 교차시키는 과정이 재현된 장면입니다.
서술형 답안에 남겨야 할 흔적
학생은 최종 답안에 숫자만 쓰지 않고 “기준일을 0으로 두고 x를 기준일 후 경과일로 설정한다”라고 시작했습니다. 이어 첫 조건으로 후보를 만들고, 두 번째 조건을 대입해 걸러 낸 뒤, 마지막에는 16-x 또는 20-x를 원래 조건에 다시 넣었습니다. 역으로 조건 사용 지점을 추적하자 구간 조건과 배수 조건이 모두 사용되었음도 확인되었습니다.
자주 묻는 질문
- 조건을 사용한 순서를 꼭 써야 하나요?
서술형에서는 식만 나열하기보다 어떤 조건으로 후보를 만들었는지 밝혀야 누락 여부를 확인할 수 있습니다. - 조건의 순서를 바꾸면 답도 달라지나요?
같은 후보를 교집합으로 찾는 문제라면 순서는 달라도 답은 같을 수 있습니다. 다만 각 단계의 검산은 필요합니다. - 후보를 모두 적는 방식이 느리지 않나요?
범위가 작을 때는 누락을 막는 효과가 큽니다. 범위가 커지면 나머지 조건이나 배수 간격으로 후보를 먼저 줄일 수 있습니다. - 마지막 재대입은 무엇을 확인하나요?
구한 값이 범위 안에 있는지, 각 조건을 실제로 만족하는지, 기준일과 경과일의 방향을 거꾸로 읽어도 맞는지를 확인합니다.