차암동 고2수학과외







대칭처럼 보이는 분포표, 정말 대칭일까?
이산확률분포의 오답은 계산보다 표를 읽는 순간 시작되기도 합니다. 값이 중심을 기준으로 마주 보고 있다는 이유만으로 확률까지 같다고 판단하면 안 됩니다. 차암동과외 수업에서는 값의 짝과 확률의 짝을 함께 확인하는 습관을 먼저 점검합니다.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| P(X=x) | 0.25 | 0.15 | 0.20 | 0.15 | 0.25 |
중심값을 기준으로 짝을 찾기
값의 중심은 3입니다. 따라서 짝은 다음과 같습니다.
- 1과 5: 확률 0.25와 0.25
- 2와 4: 확률 0.15와 0.15
- 3: 중심값이므로 자기 자신과 대응
모든 짝에서 확률까지 같으므로 이 분포는 3을 중심으로 대칭입니다.
합조건과 대칭성을 함께 사용하기
이번에는 확률표의 일부가 미지수라고 하겠습니다.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| P(X=x) | a | 0.15 | 0.20 | 0.15 | a |
확률의 합은 1이므로
a+0.15+0.20+0.15+a=1
2a+0.50=1에서 a=0.25입니다.
대칭성만으로 a의 값을 바로 정하는 것이 아니라, 대칭성으로 양끝 확률이 같다는 관계를 세우고 확률의 합 조건으로 값을 확정해야 합니다.
대칭성을 깨뜨리는 한 열 찾기
다음 표에서 대칭이 아닌 항을 고르면 됩니다.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| P(X=x) | 0.25 | 0.15 | 0.20 | 0.10 | 0.25 |
1과 5의 확률은 같지만, 2와 4의 확률은 각각 0.15와 0.10으로 다릅니다. 따라서 값의 배열이 대칭이어도 확률분포 전체는 대칭이 아닙니다.
최종 확인: 평균도 중심값과 일치하는가
처음의 대칭분포에서 평균을 계산하면
E(X)=1(0.25)+2(0.15)+3(0.20)+4(0.15)+5(0.25)=3
대칭의 중심인 3과 평균이 일치합니다. 다만 평균이 3이라는 사실만으로 분포의 대칭성을 증명할 수는 없습니다. 반드시 서로 대응하는 값의 확률을 각각 비교해야 합니다.
천안 지역에서 고3수학과외를 준비할 때도 분포표를 보면 먼저 중심값, 대응하는 값, 대응 확률을 순서대로 표시한 뒤 합조건과 계산을 진행하는 것이 안전합니다.