직산지구 중2수학과외

그림보다 먼저 확인한 삼각형의 내심과 각의 이등분선

직산지구 생활권에는 극동늘푸른아파트와 두정역마을이 이어져 있고, 천안두정중학교가 포함된 생활권에서도 삼각형의 내심과 각의 이등분선 문제를 풀 때 그림의 모양에 기대어 판단하는 경우가 있습니다. 이번 중2수학과외에서는 학생의 오답을 처음부터 다시 풀기보다, 완성된 풀이를 뒤에서부터 거꾸로 읽으며 오류가 시작된 지점을 찾았습니다.

답이 틀어진 줄을 거꾸로 확인하다

문제의 그림에는 삼각형 ABC와 세 각의 이등분선이 표시되어 있었고, 세 이등분선의 교점을 I라고 하였습니다. 학생은 먼저 그림에서 보이는 길이를 눈으로 비교했습니다. 선분 AI와 BI가 비슷해 보인다는 이유로 두 선분에 같은 표시를 붙였고, ∠BAI와 ∠IAC에도 같은 표시를 했습니다. 이어서 “I는 삼각형 안쪽에 있으므로 세 변까지의 거리도 모두 같다”고 적은 뒤, 주어진 각을 나누어 계산했습니다.

계산 과정에서 ∠A의 절반을 구한 부분과 세 각의 합을 이용한 부분은 맞았습니다. 그러나 마지막에 구한 선분의 길이가 조건과 맞지 않았습니다. 학생은 답에서부터 식을 되짚으며 각 계산, 내심의 위치, 선분 표시를 차례로 확인했습니다. 그 결과 가장 먼저 어긋난 줄은 계산식이 아니라 그림을 보고 AI와 BI의 길이가 같다고 정한 부분이었습니다.

그림에서 비슷해 보이는 두 선분은, 같은 길이라는 조건이 주어지지 않았다면 같다고 표시할 수 없다.

처음 잘못한 판단만 바로잡기

전체 풀이를 지우지 않고 해당 줄만 고쳤습니다. 학생은 그림 위의 표시를 지운 다음, 문제에서 실제로 주어진 정보를 문장으로 옮겼습니다. “I는 ∠A의 이등분선과 ∠B의 이등분선의 교점”이라고 적고, 각 이등분선은 한 각을 같은 크기의 두 각으로 나누는 선이라고 확인했습니다. 따라서 ∠BAI=∠IAC이고, ∠ABI=∠IBC라고 표시했습니다.

이때 AI와 BI의 길이는 알 수 없으므로 길이 표시를 하지 않았습니다. 대신 I가 세 각의 이등분선 위에 있다는 조건을 이용해 각을 먼저 정리했습니다. 예를 들어 ∠A가 70도라면 ∠BAI와 ∠IAC를 각각 35도로 나누고, ∠B가 60도라면 ∠ABI와 ∠IBC를 각각 30도로 나누었습니다. 이후 삼각형의 세 각의 합을 이용해 ∠C를 구하고, C에서 그은 각의 이등분선도 두 각을 같은 크기로 나누어 표시했습니다.

이미 맞았던 각의 합 계산은 그대로 두고, 길이가 같다는 잘못된 판단만 제거하자 풀이의 연결이 다시 맞았습니다. 내심이라는 이름만 보고 변의 길이나 선분의 길이가 같다고 결론 내리는 것이 아니라, 내심이 각의 이등분선의 교점이라는 조건을 먼저 사용한 것입니다.

표시를 지운 새로운 형태의 문제

다음 문제에서는 그림에 각의 같은 표시를 직접 넣지 않았습니다. 대신 “점 P는 삼각형 DEF의 내심이고, ∠D=84도, ∠E=46도이다. ∠FDP와 ∠PDE의 크기, 그리고 ∠DEP의 크기를 구하여라”라는 문장으로 제시했습니다. 학생은 수치를 보자마자 계산하지 않고, 먼저 P가 내심이라는 문장에 밑줄을 그었습니다.

P가 내심이므로 DP는 ∠D의 이등분선이다.
따라서 ∠FDP와 ∠PDE는 각각 84÷2=42도이다.
EP도 ∠E의 이등분선이므로 ∠DEP는 46÷2=23도이다.

이번에는 그림의 선분 길이나 위치를 비교하지 않았습니다. 질문이 삼각형 전체의 각을 묻는 것이 아니라 특정 이등분선이 나누는 작은 각을 묻고 있다는 점도 표시했습니다. 같은 내심 문제라도 그림에서 조건을 찾는 방식과 문장에서 조건을 읽는 방식이 다를 수 있음을 확인했습니다.

도움 없이 다시 세운 첫 판단

검증 문제에서는 삼각형 GHI의 내심을 J라고 하고, ∠G=58도, ∠H=72도, ∠GIJ의 크기를 구하도록 했습니다. 중간 풀이를 가린 상태에서 학생은 먼저 “J는 내심이므로 GJ와 HJ는 각각 ∠G와 ∠H의 이등분선”이라고 썼습니다. 이어 ∠IGJ=29도, ∠IHJ=36도라고 계산했습니다.

학생은 삼각형 GIJ의 세 각을 이용해 ∠GIJ를 구했습니다. 180-29-36=115도라고 적은 뒤, 원래 그림에서 J가 삼각형 안쪽에 있고 해당 각이 둔각으로 보이는지 확인했습니다. 또 처음 오답처럼 GJ와 HJ의 길이를 같다고 쓰지 않았으며, 각을 나눈 근거가 내심의 정의와 일치하는지도 문장으로 설명했습니다.

이번 검산은 단순히 정답 숫자를 확인하는 데 그치지 않았습니다. “내심이라는 조건에서 먼저 각의 이등분선을 찾고, 그 뒤 삼각형 GIJ의 세 각의 합을 사용했으므로 계산 순서가 조건과 맞다”고 스스로 말했습니다. 직산지구과외에서 확인한 이 장면은 직산지구중2수학과외에서 삼각형의 내심 문제를 다룰 때, 그림의 인상보다 주어진 관계를 먼저 읽어야 한다는 판단이 실제 풀이에 재현된 사례였습니다.

직산지구 중2수학과외 학부모 후기

학교 행사 끝나고 집에 와서 책과 프린트를 치우는데, 아이가 한 문제를 그냥 넘기지 않고 숫자 부분을 손으로 가린 채 다시 풀고 있더라고요. 답을 외웠는지 보려는 게 아니라 숫자가 달라져도 같은 판단으로 풀 수 있는지 확인하는 모습이었어요. 예예전에는 막힌 까닭을 짧게라도 적어 두는 일이 거의 없었거든요. 직산지구 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 인상적이었는데, 그 뒤 시험 계획을 적던 저녁에도 비슷한 문제를 꺼내 숫자 일부를 가리고 풀었습니다. 필요한 위치에는 표시를 해 두고, 풀이가 끝난 뒤에는 오래 붙잡지 않고 다음 일정으로 넘어갔어요. 숫자만 바뀌었을 때도 처음과 같은 판단을 이어 가는지 스스로 확인하는 과정이 눈에 보였습니다.

★★★★★학부모 후기

답을 적은 뒤 바로 다음 문제로 넘어갈 줄 알았는데, 옆에서 보니 단위와 범위를 한 번 더 살피고 있더라고요. 수학시험 다음 날 저녁이라 피곤할 법도 했는데 문제에서 요구한 부분이 빠졌는지 눈으로 다시 따라가고 있었습니다. 예예전에는 공부가 끝나면 다시 볼 곳을 따로 표시해 두지 않았어요. 그런데 이번에는 답을 쓴 뒤 조건을 확인하면서 해당 부분에 작은 표시를 해두더라고요. 직산지구 수학과외를 알아보며 기대했던 것도 이런 식으로 아이가 자기 풀이를 한 번 더 들여다보는 모습이었거든요. 다음 수업 자료를 챙기던 때에도 답 뒤의 범위와 조건을 확인한 흔적이 보이더라고요. 예전처럼 답만 맞으면 지나가는 게 아니라, 문제에서 요구한 내용까지 살핀 뒤 표시가 남아 있었습니다.

★★★★☆학부모 후기

학교 숙제를 끝낸 뒤 아이가 도함수 부호표를 다시 펼쳐 놓고 각 구간 칸을 하나씩 채우고 있더라고요. 전부 확인한 건 아니었는지 헷갈린 부분에는 따로 작은 표시도 해뒀어요. 예예전에는 다음에 볼 곳을 남겨두지 않아서 노트를 펼치면 처음부터 훑어야 했는데, 이번에는 어디가 덜 정리됐는지 눈에 보이게 해놓았더라고요. 직산지구 수학과외를 알아보던 때와는 별개로, 노트를 새것으로 바꾼 날 지나가다 보니 미분 문제의 도함수 부호표를 직접 다시 그리는 모습도 보게 됐어요. 도함수의 근을 먼저 짚고 구간별 부호를 채워 넣은 표였는데, 답을 찾기보다 자기 손으로 빈칸을 완성하고 있었습니다. 숙제와 노트에서 같은 방식으로 확인 흔적이 남아 있는 게 눈에 띄었어요.

★★★★★학부모 후기

직산지구에서 과외를 시작한 뒤에도 아이는 설명을 들을 때는 고개를 끄덕이다가 혼자 숙제를 하면 막혀 한꺼번에 몰아서 하곤 했습니다. 학교 행사로 공부 시간이 줄어든 날에도 선생님은 수업 끝에 복습할 내용을 몇 가지로만 정리해 주셨고, 정해 둔 시간에 시작했는지 살피며 질문을 편하게 받아주셨습니다. 요즘은 한 문제에 막혀도 수학 전체를 포기하지 않고 먼저 물어보려는 모습이 보여 성적보다 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

직산지구에서 수학과외를 시작한 뒤, 아이가 틀린 문제를 다시 펼쳐보는 모습이 조금 달라졌습니다. 예전에는 모르는 부분을 묻지 않고 지나갔는데, 선생님이 질문을 재촉하지 않고 차분히 기다려 주셔서인지 이제는 풀이를 살피며 어디서 막혔는지 말하려고 합니다. 숙제가 많아 힘들어할 때도 우선순위를 정해 나눠 주니, 수업 후 복습할 내용이 전보다 분명해진 점이 가장 반갑습니다.

★★★★★학부모 후기

수학 숙제도 자주 미루던 아이가 직산지구 수업에서 쉬운 문제부터 다시 풀어 보며 조금씩 마음을 열었습니다. 시험 범위를 절반쯤 공부했을 때 제가 옆에서 지켜보니, 선생님이 아이가 먼저 묻기 어려워하는 순간마다 자연스럽게 질문을 건네고 무리하게 진도를 서두르지 않으셨습니다. 시험기간에도 공부 흐름을 크게 놓치지 않고 숙제와 복습을 이어 가는 모습이 성적보다 먼저 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기