직산지구 중2수학과외
그림보다 먼저 확인한 삼각형의 내심과 각의 이등분선
이번 중2수학과외에서는 학생의 오답을 처음부터 다시 풀기보다, 완성된 풀이를 뒤에서부터 거꾸로 읽으며 오류가 시작된 지점을 찾았습니다.
답이 틀어진 줄을 거꾸로 확인하다
문제의 그림에는 삼각형 ABC와 세 각의 이등분선이 표시되어 있었고, 세 이등분선의 교점을 I라고 하였습니다. 학생은 먼저 그림에서 보이는 길이를 눈으로 비교했습니다. 선분 AI와 BI가 비슷해 보인다는 이유로 두 선분에 같은 표시를 붙였고, ∠BAI와 ∠IAC에도 같은 표시를 했습니다. 이어서 “I는 삼각형 안쪽에 있으므로 세 변까지의 거리도 모두 같다”고 적은 뒤, 주어진 각을 나누어 계산했습니다.
계산 과정에서 ∠A의 절반을 구한 부분과 세 각의 합을 이용한 부분은 맞았습니다. 그러나 마지막에 구한 선분의 길이가 조건과 맞지 않았습니다. 학생은 답에서부터 식을 되짚으며 각 계산, 내심의 위치, 선분 표시를 차례로 확인했습니다. 그 결과 가장 먼저 어긋난 줄은 계산식이 아니라 그림을 보고 AI와 BI의 길이가 같다고 정한 부분이었습니다.
그림에서 비슷해 보이는 두 선분은, 같은 길이라는 조건이 주어지지 않았다면 같다고 표시할 수 없다.
처음 잘못한 판단만 바로잡기
전체 풀이를 지우지 않고 해당 줄만 고쳤습니다. 학생은 그림 위의 표시를 지운 다음, 문제에서 실제로 주어진 정보를 문장으로 옮겼습니다. “I는 ∠A의 이등분선과 ∠B의 이등분선의 교점”이라고 적고, 각 이등분선은 한 각을 같은 크기의 두 각으로 나누는 선이라고 확인했습니다. 따라서 ∠BAI=∠IAC이고, ∠ABI=∠IBC라고 표시했습니다.
이때 AI와 BI의 길이는 알 수 없으므로 길이 표시를 하지 않았습니다. 대신 I가 세 각의 이등분선 위에 있다는 조건을 이용해 각을 먼저 정리했습니다. 예를 들어 ∠A가 70도라면 ∠BAI와 ∠IAC를 각각 35도로 나누고, ∠B가 60도라면 ∠ABI와 ∠IBC를 각각 30도로 나누었습니다. 이후 삼각형의 세 각의 합을 이용해 ∠C를 구하고, C에서 그은 각의 이등분선도 두 각을 같은 크기로 나누어 표시했습니다.
이미 맞았던 각의 합 계산은 그대로 두고, 길이가 같다는 잘못된 판단만 제거하자 풀이의 연결이 다시 맞았습니다. 내심이라는 이름만 보고 변의 길이나 선분의 길이가 같다고 결론 내리는 것이 아니라, 내심이 각의 이등분선의 교점이라는 조건을 먼저 사용한 것입니다.
표시를 지운 새로운 형태의 문제
다음 문제에서는 그림에 각의 같은 표시를 직접 넣지 않았습니다. 대신 “점 P는 삼각형 DEF의 내심이고, ∠D=84도, ∠E=46도이다. ∠FDP와 ∠PDE의 크기, 그리고 ∠DEP의 크기를 구하여라”라는 문장으로 제시했습니다. 학생은 수치를 보자마자 계산하지 않고, 먼저 P가 내심이라는 문장에 밑줄을 그었습니다.
- P가 내심이므로 DP는 ∠D의 이등분선이다.
- 따라서 ∠FDP와 ∠PDE는 각각 84÷2=42도이다.
- EP도 ∠E의 이등분선이므로 ∠DEP는 46÷2=23도이다.
이번에는 그림의 선분 길이나 위치를 비교하지 않았습니다. 질문이 삼각형 전체의 각을 묻는 것이 아니라 특정 이등분선이 나누는 작은 각을 묻고 있다는 점도 표시했습니다. 같은 내심 문제라도 그림에서 조건을 찾는 방식과 문장에서 조건을 읽는 방식이 다를 수 있음을 확인했습니다.
도움 없이 다시 세운 첫 판단
검증 문제에서는 삼각형 GHI의 내심을 J라고 하고, ∠G=58도, ∠H=72도, ∠GIJ의 크기를 구하도록 했습니다. 중간 풀이를 가린 상태에서 학생은 먼저 “J는 내심이므로 GJ와 HJ는 각각 ∠G와 ∠H의 이등분선”이라고 썼습니다. 이어 ∠IGJ=29도, ∠IHJ=36도라고 계산했습니다.
학생은 삼각형 GIJ의 세 각을 이용해 ∠GIJ를 구했습니다. 180-29-36=115도라고 적은 뒤, 원래 그림에서 J가 삼각형 안쪽에 있고 해당 각이 둔각으로 보이는지 확인했습니다. 또 처음 오답처럼 GJ와 HJ의 길이를 같다고 쓰지 않았으며, 각을 나눈 근거가 내심의 정의와 일치하는지도 문장으로 설명했습니다.
이번 검산은 단순히 정답 숫자를 확인하는 데 그치지 않았습니다. “내심이라는 조건에서 먼저 각의 이등분선을 찾고, 그 뒤 삼각형 GIJ의 세 각의 합을 사용했으므로 계산 순서가 조건과 맞다”고 스스로 말했습니다. 직산지구과외에서 확인한 이 장면은 직산지구중2수학과외에서 삼각형의 내심 문제를 다룰 때, 그림의 인상보다 주어진 관계를 먼저 읽어야 한다는 판단이 실제 풀이에 재현된 사례였습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
중등 수학
개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.
중2 점검 기준
이미 배운 내용을 변형된 문장이나 문제에 적용하는 과정과 서술형에서 빠진 근거를 확인합니다.
수업 진행 예시
문장 조건을 식으로 옮기기
어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.
괄호와 부호 확인하기
2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
중등 과외 수업료
| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
| 중등 | 29~44만 원 | 26~40만 원 |
회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.
주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.
수업 이용에 관한 자주 묻는 질문
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