직산지구 중1수학과외

직산지구 중1수학과외에서 확인한 ASA 합동조건의 실제 풀이

직산지구과외 수업에서 학생이 삼각형의 합동 문제를 풀며 멈춘 지점은 변의 길이를 계산하는 과정이 아니었다. 두 삼각형에서 어떤 각과 변이 서로 대응하는지 정하지 않은 채, 눈에 보이는 모양만 비교한 것이 출발점이었다. 직산지구중1수학과외에서는 이 한 줄의 판단을 다시 추적하며 ASA 합동조건을 적용하는 과정을 정리했다.

문제에는 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 제시되어 있었다. ∠A와 ∠D가 같고, AB와 DE의 길이가 같으며, ∠B와 ∠E가 같다는 조건이었다. 학생은 그림을 보자마자 “각 두 개와 변 하나가 같으니 합동”이라고 적은 뒤, 삼각형 ABC의 꼭짓점 A를 DEF의 F에 연결했다. 이어서 “A↔F, B↔E, C↔D”라고 대응표를 썼다.

학생의 첫 기록: ∠A=∠D, AB=DE, ∠B=∠E이므로 △ABC≡△FED

계산 자체가 틀어진 것이 아니라, 첫 대응점을 그림의 위치만 보고 정한 판단에서 오류가 시작됐다. 합동조건은 각 두 개와 그 사이에 놓인 변이 같은지를 확인해야 한다. 여기서 AB는 ∠A와 ∠B 사이의 변이고, DE는 ∠D와 ∠E 사이의 변이다. 따라서 A는 D, B는 E에 대응해야 하며 남은 C는 F에 대응한다.

잘못된 대응을 한 줄씩 되돌리다

학생은 그림 위에 같은 표시를 다시 했다. ∠A와 ∠D에는 같은 호를, ∠B와 ∠E에도 같은 호를 그렸다. AB와 DE에는 같은 선 표시를 넣은 뒤, 각 표시가 만나는 꼭짓점을 나란히 적었다.

• ∠A와 ∠D가 대응하므로 A↔D
• ∠B와 ∠E가 대응하므로 B↔E
• 두 대응을 만족하는 남은 꼭짓점은 C↔F
• AB와 DE는 두 대응각 사이에 있는 변

그제야 학생은 △ABC와 △DEF의 순서를 “ABC와 DEF”로 써야 한다는 것을 확인했다. 순서를 바꾸어 △FED라고 쓰면 A와 F, B와 E, C와 D가 대응하는 것처럼 읽히므로 주어진 각과 변의 관계가 달라진다. 교정은 이미 확인한 각과 변의 크기를 다시 구하는 것이 아니라, 대응 관계를 먼저 고정한 뒤 합동조건을 판단하는 것에 한정했다.

이번에는 왼쪽에 있던 삼각형이 오른쪽으로 이동했고, 문제의 조건도 “∠F와 ∠C가 같고, FE와 CB의 길이가 같으며, ∠E와 ∠B가 같다”처럼 순서가 바뀌어 있었다.

도형의 방향이 바뀌어도 같은 조건을 찾는 연습

학생은 회전된 그림의 모양을 기준으로 짝을 정하지 않고, 문제 문장에서 같은 표시를 찾아 표를 만들었다.

• ∠F↔∠C
• FE↔CB
• ∠E↔∠B
• 남은 꼭짓점 D↔A

FE는 ∠F와 ∠E 사이의 변이고 CB는 ∠C와 ∠B 사이의 변이므로, 두 변은 각각 대응하는 두 각 사이에 놓여 있었다. 학생은 “각 하나와 변 하나가 같다는 뜻이 아니라, 두 각 사이의 변까지 함께 대응한다”고 말하며 ASA 합동조건을 선택했다. 질문이 “두 삼각형이 합동인지 설명하라”에서 “△D E F와 대응하는 삼각형의 이름을 쓰라”로 바뀌었지만, 먼저 대응점을 정한 뒤 이름을 읽는 순서는 유지했다.

시간을 제한한 짧은 문제에서도 학생은 불필요하게 모든 변을 비교하지 않았다. 각 표시 두 개와 그 사이의 변 표시 하나를 확인하고, 대응점 세 쌍을 적은 뒤 합동조건을 말하는 방식으로 풀이를 줄였다. 합동을 판단하는 데 주어진 조건 외의 변이나 각을 후보로 넣지 않은 것이다.

힌트 없이 다시 세운 최종 풀이

마지막 검증에서는 풀이 안내 없이 새로운 도형을 제시했다. 한 삼각형을 뒤집고, 조건의 순서도 변형했다. 학생은 먼저 문제에 적힌 “∠P=∠X, PQ=XY, ∠Q=∠Y”를 옮겨 적었다. 이어 P↔X, Q↔Y를 정하고, 남은 꼭짓점 R↔Z를 연결했다. PQ와 XY가 각각 대응하는 두 각 사이의 변이라는 점을 직접 설명한 뒤 “따라서 △PQR과 △XYZ는 ASA 합동”이라고 결론을 냈다.

학생은 원래 조건을 다시 대조하며 “∠P와 ∠X, ∠Q와 ∠Y가 맞고, 그 사이의 PQ와 XY도 맞으므로 합동조건을 만족한다. 그림이 뒤집혀 보여도 대응점의 순서는 바뀌지 않는다”고 적었다. 처음의 오류였던 그림의 위치만 보고 대응점을 정하는 판단을 스스로 찾아내고, 표시된 각과 두 각 사이의 변을 근거로 다시 고친 장면이었다.