성정동 중2수학과외

표현이 바뀌어도 직각삼각형의 대응을 찾는 수업

성정동의 성정선경아파트와 성정현대아파트가 있는 생활권, 천안성정중학교가 포함된 주변에서 진행한 중2수학과외에서는 직각삼각형의 합동조건을 그림의 모양이 아니라 주어진 관계로 판단하는 데 초점을 두었습니다. 성정동과외에서 만난 학생은 도형이 조금만 회전되어도 같은 조건을 놓치는 일이 있었습니다.

마지막 풀이에서 거꾸로 찾아낸 첫 판단

학생이 새 문제를 풀고 난 뒤 풀이를 되짚어 보니, 계산이나 표시보다 먼저 잘못된 선택이 있었습니다. 두 직각삼각형이 제시되고 한쪽에는 선분의 중점에서 수직으로 그은 선이, 다른 쪽에는 각을 똑같이 나누는 선이 표시되어 있었습니다. 학생은 두 그림의 외형을 훑은 뒤 “비슷하게 생겼으니 표시된 변도 같을 것”이라고 판단했습니다.

이 판단은 결과가 나온 뒤의 실수가 아니라, 조건을 읽기 전에 그림의 배치와 크기를 근거로 삼은 최초의 오류였습니다. 학생은 실제로 수직 표시와 같은 길이 표시를 구분하지 않았고, 각의 이등분선 표시도 대응 관계로 옮기지 않은 채 두 삼각형의 위치만 비교했습니다.

그림이 닮아 보인다는 사실과 두 도형에서 같은 관계가 주어졌다는 사실은 다르다.

표시를 관계로 바꾸어 읽기

교정은 한 가지로 좁혔습니다. 그림의 모양을 지우듯 가리고, 먼저 직각 표시와 같은 길이 표시를 따로 적게 했습니다. 수직이등분선은 어떤 선분을 직각으로 나누며 양 끝점까지의 거리가 같다는 관계로 읽고, 각의 이등분선은 하나의 각을 두 같은 각으로 나누는 관계로 읽었습니다. 둘을 같은 종류의 조건이라고 섞지 않도록 학생은 문제 옆에 각각 ‘선분의 두 끝까지 같은 거리’, ‘두 각의 크기 같음’이라고 짧게 써 두었습니다.

그 뒤 두 직각삼각형에서 직각이 놓인 꼭짓점을 먼저 대응시켰습니다. 직각을 마주 보는 변은 빗변으로 표시하고, 이미 같은 것으로 확인된 변이나 각을 차례로 연결했습니다. 학생은 “직각이 같고, 빗변이 같고, 한 변이 같으면 직각삼각형의 합동조건으로 판단할 수 있다”고 말하며, 그림의 크기 대신 조건 세 개를 근거로 삼았습니다. 이미 정확했던 직각 표시와 빗변 확인 과정은 그대로 유지했습니다.

문장을 표와 선분으로 바꾼 독립 적용

다음 문제는 그림이 아니라 문장과 표로 제시했습니다. 삼각형 PQR과 삼각형 STU가 모두 직각삼각형이고, 표에는 ∠Q=∠T=90°, PR=SU, 그리고 QR=TU가 적혀 있었습니다. 학생은 먼저 Q와 T를 대응점으로 연결하고, 직각을 마주 보는 PR과 SU를 빗변으로 표시했습니다. 이어 QR과 TU에 같은 표시를 붙인 뒤 두 삼각형이 합동이라고 판단했습니다.

이번에는 질문 방향도 바꾸었습니다. “합동인지 말하시오”가 아니라 “점 P에 대응하는 점과 그 이유를 쓰시오”라고 제시했습니다. 학생은 빗변 PR과 SU에서 P와 S가 각각 직각점 R, U에 대응하는 끝점이라는 점을 확인하고, QR과 TU의 대응을 함께 비교하여 P에 대응하는 점은 S라고 설명했습니다. 숫자를 바꾼 반복이 아니라 문장, 표, 대응점 질문으로 형태를 바꾸었지만, 직각과 빗변, 한 변의 관계를 같은 순서로 복원했습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

수업 끝에는 처음 보는 도형을 도움 없이 제시했습니다. 두 직각삼각형의 내부에 각의 이등분선이 그어져 있었고, 한 변에는 같은 길이 표시가 있었습니다. 학생은 곧바로 “먼저 직각인 꼭짓점을 찾고, 그다음 빗변을 정한 뒤, 각의 이등분선이 만든 같은 각이 어느 꼭짓점에 대응하는지 확인하겠다”고 풀이 계획을 말했습니다.

학생은 대응점에 같은 기호를 붙이고, 대응변을 선으로 연결했습니다. 마지막에는 두 삼각형의 대응을 거꾸로 읽어 보며 첫 번째 직각, 빗변, 주어진 같은 각이 서로 어긋나지 않는지 확인했습니다. 특히 수직이등분선처럼 보이는 선이 있는지 다시 살핀 뒤, 실제로는 각의 이등분선이라는 표시를 근거로 삼았다고 설명했습니다. “그림이 회전되어도 직각의 위치와 주어진 관계를 대응시키면 되므로, 모양만 보고 같은 길이라고 정하지 않았다”고 스스로 검산 근거를 밝혔습니다.

이렇게 성정동중2수학과외 수업에서는 직각삼각형 합동을 외운 배열로 처리하지 않고, 수직이등분선과 각의 이등분선의 의미를 분리한 뒤 대응점·대응변을 끝까지 연결하는 방식으로 확인했습니다.