불당신도시 고2수학과외
최종 검산에서 확률이 음수가 되지 않고 합이 1인지 확인하던 중, 분산 조건 하나만으로 모든 미지확률을 정하려 한 풀이의 문제가 드러났다. 불당신도시과외에서 이 유형을 다룰 때는 먼저 미지수의 개수와 독립적인 조건의 개수를 세어야 한다.
대칭분포에서는 분산이 미지확률을 결정한다
확률변수 \(X\)가 다음과 같은 대칭분포를 따른다고 하자.
| \(X\) | -2 | -1 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x)\) | \(a\) | \(b\) | \(b\) | \(a\) |
평균 조건은 대칭성으로 자동 처리된다
분포가 대칭이므로
\[ E(X)=(-2)a-b+b+2a=0 \]
이다. 따라서 평균은 새로운 독립 조건을 제공하지 않는다. 확률의 합에서
\[ 2a+2b=1,\qquad a+b=\frac12 \]
를 얻는다.
분산과 확률합을 연립한다
\(E(X)=0\)이므로 \(\operatorname{Var}(X)=E(X^2)\)이다.
\[ 8a+2b=3 \]
이고, \(b=\frac12-a\)를 대입하면
\[ 8a+2\left(\frac12-a\right)=3 \] \[ 6a+1=3,\qquad a=\frac13 \]
따라서
\[ b=\frac12-\frac13=\frac16 \]
이다. 실제로 확률의 합은 \(2\cdot\frac13+2\cdot\frac16=1\), 분산은 \(8\cdot\frac13+2\cdot\frac16=3\)으로 조건을 모두 만족한다.
표현을 바꾸면 조건 부족 여부를 먼저 판정해야 한다
새 문항에서 \(X\)가 \(-2,-1,1,2\)의 값을 갖고 확률을 각각 \(p,q,r,s\)라 하자. 평균이 0이고 분산이 3이라는 조건만 주어졌다면 다음 식만 세울 수 있다.
\[ p+q+r+s=1 \] \[ -2p-q+r+2s=0 \] \[ 4p+q+r+4s=3 \]
미지수는 네 개지만 독립적인 식은 세 개뿐이다. 따라서 해가 하나로 정해지지 않는다.
실제로 여러 해가 존재한다
한 가지 해는
\[ (p,q,r,s)=\left(\frac13,\frac16,\frac16,\frac13\right) \]
이다. 또
\[ (p,q,r,s)=\left(\frac14,\frac13,\frac16,\frac14\right) \]
도 확률의 합이 1이고 평균은 0이다. 그러나 분산은
\[ 4\cdot\frac14+\frac13+\frac16+4\cdot\frac14 =\frac{23}{6} \]
이므로 분산 3 조건에는 맞지 않는다. 분산까지 만족하는 다른 해를 만들려면 자유변수를 두고 식을 풀어야 하며, 핵심은 조건의 독립성을 확인하는 것이다.
재풀이의 판단 기준
대칭 조건 \(p=s,\ q=r\)가 추가되면 미지수는 \(p,q\) 두 개로 줄어든다. 이때 확률합과 분산이라는 두 조건이 서로 독립이므로 미지확률을 결정할 수 있다.
반대로 대칭 조건 없이 네 확률을 구하려 하면 평균·분산·확률합만으로는 일반적으로 부족하다. 따라서 문제에서 요구하는 값이 유일하게 정해지는지 먼저 확인하고, 필요하다면 대칭성이나 추가 확률 조건을 식에 명시해야 한다.