불당신도시 중2수학과외

계산보다 먼저 정한 기준이 풀이를 바꾼 장면

불당신도시에서 방문 수업을 희망한다면 실제 수업 장소와 학교·학원 이동 시간을 함께 알려 주세요. 가능한 요일과 시작 시간을 학생의 일정에 맞춰 상담에서 확인합니다.

그림을 읽기 전에 멈춰야 했던 한 줄

문제에는 삼각형 ABC와 점 O가 제시되어 있었습니다. O에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같고, O가 각 변의 수직이등분선 위에 있다는 조건을 이용해 길이를 구하는 서술형이었습니다. 학생은 그림에서 AB의 중점을 찾은 뒤, 선분 AB와 OC가 만나는 점을 대응점처럼 표시했습니다.

학생은 먼저 그림의 AB 위에 작은 점을 찍고, “O에서 A와 B까지 거리가 같으므로 OA=OB”라고 적었습니다. 이어서 다른 선분에도 같은 표시를 하려다가, O와 C를 연결한 선분을 AB에 대응하는 선분으로 정했습니다. 그 뒤 두 삼각형을 비교하며 변-각-변을 사용하겠다고 썼고, 필요한 길이를 식으로 옮기려 했습니다.

계산 결과가 어긋난 뒤 식을 다시 확인했지만, 최초의 문제는 계산 부호나 숫자가 아니었습니다. 학생이 대응하는 점과 변을 정하기 전에 합동 조건부터 고른 것이 첫 판단이었습니다. 대응 관계가 정해지지 않은 상태에서 합동 조건을 끼워 맞추니, 수직이등분선이 보장하는 길이와 임의로 연결한 선분이 섞였습니다.

“합동 조건을 먼저 고르는 것이 아니라, 같은 길이와 같은 위치를 알려 주는 조건에서 대응을 먼저 찾아야 해.”

수직이등분선이 알려 주는 것만 남기기

교정은 한 가지 행동으로 제한했습니다. 학생에게 식을 지우거나 풀이 전체를 다시 쓰게 하지 않고, 그림의 점과 변에 대응 표시만 먼저 붙이게 했습니다. AB의 수직이등분선 위에 O가 있다면 A와 B를 연결해 같은 표시를 하고, 따라서 OA와 OB에 같은 표시를 붙였습니다. 다른 변 BC의 수직이등분선 위에도 O가 있다면 OB와 OC를 같은 묶음으로 표시했습니다.

학생은 이제 O가 임의의 선분을 만드는 점이 아니라, 각 변의 양 끝점에서 같은 거리에 있는 점이라는 사실을 문장으로 적었습니다. 그 결과 “OA=OB=OC”를 먼저 정리하고, 문제에서 실제로 요구한 길이와 직접 관련된 두 변만 남겼습니다. 이미 맞게 적어 둔 등식은 유지하고, 근거 없이 선택했던 합동 조건만 삭제했습니다.

이후 학생은 “수직이등분선 위의 점은 선분의 두 끝점까지 거리가 같다”라고 풀이 이유를 붙였습니다. 외심 O가 세 수직이등분선의 교점이라는 설명도 계산 뒤에 덧붙이지 않고, 길이 관계를 세우는 첫 근거로 사용했습니다.

그림이 사라진 문장 문제에서 기준 찾기

같은 개념을 숫자만 바꿔 반복하지 않기 위해 그림을 치웠습니다. 새 문제는 다음과 같이 제시했습니다. “삼각형 PQR에서 점 X는 PQ의 수직이등분선 위에 있고, QR의 수직이등분선 위에도 있다. XP가 7cm일 때 XQ와 XR의 길이를 설명하라.”

학생은 도형을 그리기 전에 문장 속 조건에 밑줄을 그었습니다. ‘PQ의 수직이등분선 위’에는 XP=XQ, ‘QR의 수직이등분선 위’에는 XQ=XR이라고 나누어 적었습니다. 질문이 XQ와 XR을 묻고 있어도 먼저 두 등식을 세운 뒤, XP=7cm를 대입해 XQ=7cm, XR=7cm라고 답했습니다.

이번에는 합동 조건을 고르지 않았고, P와 Q를 한 쌍, Q와 R을 한 쌍으로 바로 연결했습니다. 같은 점 XQ가 두 관계에 공통으로 나타난다는 점도 표시해, 세 길이가 같아지는 과정을 문장으로 설명했습니다.

도움 없이 기준을 재현한 검증

마지막 확인에서는 새로운 그림을 주고 아무 표시도 하지 않았습니다. 학생은 먼저 “점 O가 외심이라면 세 꼭짓점까지 거리가 같다”고 말한 뒤, 원래 그림에서 OA, OB, OC를 찾아 같은 표시를 붙였습니다. 이어 AB의 수직이등분선 위에 O가 있다는 조건을 가리키며 OA=OB를, AC의 수직이등분선 위에 있다는 조건에서 OA=OC를 스스로 적었습니다.

검산할 때는 구한 길이를 다시 수직이등분선 조건에 대입했습니다. AB에 대해 양 끝점까지의 거리가 같은지, AC에 대해서도 같은지 각각 확인하고, 두 조건을 모두 만족하므로 외심의 성질과 맞는다고 설명했습니다. 또 외심은 변의 수직이등분선의 교점이고, 내심은 각의 이등분선과 관련된 점이므로 두 정의를 혼동하면 안 된다고 원래 그림 옆에 적었습니다.

학생은 새 조건을 읽자마자 대응하는 점과 변을 먼저 정하고, 그 선택이 왜 가능한지 수직이등분선의 거리 관계로 검산했습니다.