용정동 중3수학과외

용정동 중3수학과외, 산점도에서 한 점에 끌려가지 않는 읽기

용정동과외 수업에서 산점도를 해석하던 중, 두 자료가 서로 다른 결론처럼 보이는 장면이 있었습니다. 이번 글은 용성중학교가 포함된 생활권의 한 학생이 풀이를 고쳐 간 과정을 바탕으로, 산점도에서 이상치가 관계 해석에 미치는 영향만 다룹니다.

나란히 놓인 두 산점도

첫 번째 자료는 ‘일주일 동안의 연습 문제 수’를 가로축, ‘수학 형성평가 점수’를 세로축으로 나타낸 산점도였습니다. 대부분의 점은 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 길게 모여 있었지만, 오른쪽 아래에 (18, 42)에 해당하는 점 하나가 떨어져 있었습니다. 연습 문제를 많이 푼 학생인데 점수가 낮게 나타난 경우였습니다.

두 번째 자료는 같은 학생들의 자료를 다른 방식으로 표현한 것이었습니다. 이번에는 가로축이 ‘형성평가 점수’, 세로축이 ‘일주일 연습 문제 수’였고, 질문도 “두 변수 사이에 어떤 관계가 보이는가?”로 바뀌었습니다. 점들의 배열은 회전한 것처럼 보였지만, 대부분의 점은 여전히 함께 증가하는 흐름을 보였습니다.

학생은 두 그림을 보자마자 첫 번째에는 “오른쪽 아래 점 때문에 관계가 거의 없다”고 적었고, 두 번째에는 “점들이 세로로 퍼져 있으니 음의 관계다”라고 썼습니다. 채점 직후 두 표현을 나란히 놓고 다시 살펴보았지만, 처음에는 눈에 띄는 한 점과 그림의 겉모양만 근거로 결론을 바꾸었습니다.

“점 하나가 멀리 있으니 전체 관계가 달라진다.”
“축을 바꾸면 모양이 달라지므로 관계의 방향도 달라진다.”

결론보다 먼저 틀린 지점

최종 답을 틀린 것보다 앞선 최초의 문제는 두 축이 무엇을 나타내는지 확인하지 않은 채 점의 겉모양만 보고 전체 분포를 단정한 것이었습니다. 산점도에서는 먼저 가로축과 세로축의 의미를 읽고, 한 점이 아니라 여러 점이 어느 방향으로 모이는지 살펴봐야 합니다.

첫 번째 그림에서 대부분의 점은 연습 문제 수가 늘수록 점수도 높아지는 방향으로 모였습니다. (18, 42)의 점은 그 흐름에서 멀리 떨어진 이상치처럼 보이지만, 그 한 점만으로 전체 관계를 “없다”고 할 수는 없습니다. 두 축을 바꾸어 표시한 두 번째 그림도 관계 자체가 바뀐 것이 아니라 같은 자료를 다른 순서로 읽은 것입니다. 세로로 길게 보이는 모양만으로 음의 관계라고 판단할 근거도 없습니다.

한 가지 표시만 바로잡기

수업에서는 다른 계산이나 풀이법을 추가하지 않고, 학생이 첫 줄에 적는 표시 하나만 고쳤습니다. 문제를 읽은 뒤 식이나 결론을 쓰기 전에 다음처럼 축의 이름을 직접 적게 했습니다.

• 가로축: 연습 문제 수
• 세로축: 형성평가 점수
• 전체 점: 오른쪽 위 방향으로 모이는가?

그 표시를 한 뒤 학생은 첫 번째 산점도를 다시 읽었습니다. “대부분의 점은 연습 문제 수와 점수가 함께 증가하는 방향이다. 오른쪽 아래의 한 점은 전체 흐름에서 벗어난 점이지만, 전체 관계를 판단할 때는 따로 표시해야 한다.”라고 고쳤습니다. 이미 확인했던 각 점의 위치는 그대로 두고, 일부 점만 보고 결론 내렸던 판단만 바로잡은 것입니다.

표로 바뀌어도 같은 기준인가

며칠 뒤에는 산점도 그림 대신 자료를 점의 위치가 표시된 표로 제시했습니다.

독서 시간	집중도 점수
10분	52점
20분	58점
30분	65점
40분	71점
50분	34점

이번에는 질문이 “가장 눈에 띄는 자료를 제외하면 두 양 사이의 관계는 어떻게 나타나는가?”였습니다. 학생은 표의 마지막 행만 먼저 보지 않고, 두 열을 함께 비교했습니다. 10분에서 40분까지는 시간이 늘수록 집중도 점수도 올라가므로 양의 관계가 보인다고 설명했습니다. 50분, 34점은 앞의 흐름에서 멀리 떨어진 값이므로 이상치로 볼 수 있지만, 그 점 하나 때문에 나머지 자료의 방향까지 반대로 읽으면 안 된다고 덧붙였습니다. 그림이 표로 바뀌고 질문의 방향이 달라졌어도, 축 또는 두 자료의 의미와 전체 점의 분포를 확인하는 기준은 유지했습니다.

힌트 없이 다시 읽은 산점도

마지막에는 다음 산점도를 처음 보는 자료로 제시했습니다. 가로축은 ‘주간 수면 시간’, 세로축은 ‘지각 횟수’였습니다. 점들은 대부분 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 모여 있었고, 오른쪽 위에 하나의 점이 떨어져 있었습니다. 질문은 “이 자료에서 이상치가 있어도 전체 관계를 어떻게 설명할 수 있는가?”였습니다.

학생은 별도의 안내 없이 먼저 “가로축은 수면 시간, 세로축은 지각 횟수”라고 적었습니다. 이어서 “대부분의 점은 수면 시간이 늘어날수록 지각 횟수가 줄어드는 방향으로 모여 있으므로 음의 관계가 보인다. 오른쪽 위의 한 점은 전체 흐름에서 벗어난 이상치처럼 보이지만, 그 점 하나만으로 관계가 없다고 판단하지 않는다.”라고 썼습니다.

마지막으로 학생은 검산 근거도 설명했습니다. “축의 의미를 다시 읽고, 눈에 띄는 한 점이 아니라 나머지 점들이 어느 방향으로 모이는지 확인했다. 따라서 결론은 한 점의 위치가 아니라 전체 분포와 일치한다.” 용정동중3수학과외에서 확인한 이번 변화는 산점도의 그림이 달라져도 이상치와 전체 관계를 구분해 읽는 기준을 스스로 적용했다는 데 의미가 있습니다.