용정동 중2수학과외
표현이 바뀌어도 같은 경우를 세는 중2수학 수업
용정동과외 수업에서 학생은 경우의 수와 확률 문제를 풀다가, 숫자를 계산하는 단계보다 먼저 같은 결과를 어떻게 묶을지에서 멈췄습니다. 용두암현대1차아파트와 내덕시영아파트가 있는 생활권, 내덕칠거리 인근 생활권에서 접할 수 있는 일상 상황처럼 보이는 문제였지만, 핵심은 물건의 이름이 아니라 원하는 경우와 전체 경우를 중복 없이 대응시키는 것이었습니다. 용성중학교가 포함된 생활권의 학생이 참고할 만한 중2수학과외 장면으로, 한 문제를 여러 표현으로 바꾸어 확인했습니다.
답이 틀어지기 전, 학생이 세운 첫 기준
문제에는 빨간 공 2개와 파란 공 1개가 들어 있는 주머니에서 공을 차례로 2개 꺼낼 때, 적어도 하나가 파란 공일 확률을 구하라고 되어 있었습니다. 학생은 빨간 공을 R1, R2, 파란 공을 B로 표시한 뒤, 첫 번째와 두 번째 자리의 순서를 나누어 적었습니다.
- R1, R2
- R2, R1
- R1, B
- B, R1
- R2, B
- B, R2
전체 경우를 6개로 세고, 파란 공이 포함된 경우를 4개로 표시해 확률을 4/6이라고 적었습니다. 계산 자체는 자연스러워 보였지만, 학생은 공의 이름을 구별한 경우와 실제 결과를 섞어 세고 있었습니다. 이때 가장 먼저 잘못 선택한 판단은 같은 색의 공이라도 이름이 다르면 서로 다른 결과로 세어도 된다고 본 것이었습니다. 공을 꺼내는 문제에서 필요한 것은 R1과 R2의 이름이 아니라 색의 배열이므로, R1과 R2를 나눈 순간 전체 경우의 기준이 달라졌습니다.
중복을 지우고, 여사건으로 관계를 다시 세우기
학생이 적어 둔 계산 중 ‘파란 공이 포함된 경우’라는 조건은 그대로 살렸습니다. 교사는 모든 경우를 다시 길게 나열하게 하지 않고, 먼저 그 반대인 파란 공이 한 번도 나오지 않는 경우를 찾도록 했습니다. 색만 보면 두 번 모두 빨간색인 경우는 RR 하나입니다. 전체 색 배열은 RR, RB, BR의 세 가지이므로, 파란 공이 적어도 하나 나오는 확률은 다음처럼 정리됩니다.
적어도 하나가 파란색일 확률 = 1 - 파란색이 한 번도 나오지 않을 확률 = 1 - 1/3 = 2/3
학생은 처음의 4/6과 새 결과 2/3을 비교해 보았습니다. 두 값은 같지만, 4/6은 공의 이름을 불필요하게 나누어 센 결과였고, 2/3은 색 배열 세 가지 안에서 원하는 경우와 여사건을 대응한 결과였습니다. 학생은 R1과 R2를 구별한 여섯 줄에 같은 색 배열끼리 괄호를 치고, (R1,R2)와 (R2,R1)가 모두 RR에 들어간다는 표시를 했습니다. 이미 맞게 사용한 ‘전체에서 반대 경우를 빼기’ 과정은 유지하고, 경우를 정하는 기준만 색의 배열로 바로잡았습니다.
나열표 대신 나무그림으로 바꾼 독립 적용
다음 문제에서는 숫자와 공 이름을 없애고, 주사위를 한 번 던진 뒤 동전을 한 번 던지는 상황으로 바꾸었습니다. 주사위 결과가 짝수이고 동전이 앞면인 경우를 구하는 문제가 아니라, 동전이 뒷면이거나 주사위 결과가 5 이상인 경우를 구하도록 질문의 방향도 바꾸었습니다.
학생은 이번에는 결과를 한 줄씩 외워 적지 않고 나무그림을 그렸습니다. 첫 갈래를 주사위의 짝수·홀수가 아닌 1, 2, 3, 4, 5, 6으로 나누고, 각 끝에서 동전의 앞면과 뒷면을 두 갈래로 연결했습니다. 전체 끝점은 12개였습니다. 뒷면인 끝점은 6개, 주사위가 5 이상인 끝점은 앞면과 뒷면을 합해 4개였습니다. 두 조건이 겹치는 ‘5 또는 6이면서 뒷면’인 끝점 2개를 한 번만 세어, 원하는 경우를 6+4-2=8개로 정리했습니다. 따라서 확률은 8/12, 즉 2/3이라고 적었습니다.
힌트 없이 기준을 설명한 검산
수업 끝 무렵 새 문제에서 학생은 빨간 카드 3장과 파란 카드 2장 중 한 장을 뽑고 다시 넣은 뒤 한 장을 더 뽑았습니다. ‘두 번 모두 빨간색이 아닐 확률’을 묻자 학생은 곧바로 “전체 결과는 색의 순서로 나누고, 두 번 모두 빨간색인 경우의 반대이므로 여사건을 쓰겠다”고 말했습니다. 색 배열에서 빨간색이 나올 확률은 3/5이므로 두 번 모두 빨간색인 경우는 9/25, 그 반대는 16/25라고 계산했습니다.
이어 학생은 직접 나열한 결과를 세는 방식으로도 파란색이 한 번 이상 포함된 경우가 16개인지 확인했습니다. “카드의 이름을 따로 세면 같은 색 배열이 겹치므로, 처음부터 결과의 표현에 맞는 기준을 정해야 한다”고 설명했습니다. 표현이 목록이든 나무그림이든 여사건 식이든, 원하는 경우가 전체 경우 안에 중복 없이 포함되는지 먼저 확인한 뒤 계산하는 판단을 스스로 재현한 장면이었습니다.