용정동 중1수학과외

용정동 생활권에서 다각형 외각의 합을 다시 세운 풀이

용성중학교가 포함된 생활권의 학습 자료에서 학생이 붙잡은 문제는 오각형의 외각을 구하는 내용이었다.

그림을 보자마자 생긴 첫 어긋남

문제의 오각형에는 바깥쪽으로 한 바퀴 도는 외각이 차례로 x°, (x+20)°, 80°, 100°, 60°라고 적혀 있었다. 학생은 그림을 공책에 다시 그린 뒤, 위쪽 꼭짓점부터 시계 방향으로 각 이름을 적었다. 그런데 원래 그림이 오른쪽으로 기울어져 있었기 때문에 학생은 모양이 비슷한 꼭짓점을 같은 위치로 옮겨 표시했고, 회전된 그림의 각 표시를 이전 그림의 각과 그대로 연결했다.

그 결과 80°라고 쓰인 각을 60°의 자리로 옮겨 적었고, 식을 x+(x+20)+80+60+100=360으로 세웠다. 계산 자체는 진행할 수 있었지만, 첫 식을 쓰기 전에 각의 대응을 확인하지 않은 것이 풀이가 흔들린 최초의 판단이었다. 외각의 합을 360°로 보는 것은 맞았지만, 어떤 각이 어느 꼭짓점에 놓였는지 확인하지 않은 상태였다.

회전한 그림에서도 각의 연결을 보이게 만들기

이미 알고 있던 ‘외각의 합은 360°’라는 부분은 유지하고, 대응을 표시하는 과정만 고쳤다. 학생은 그림을 다시 복사하지 않고 원래 도형의 꼭짓점에 A, B, C, D, E를 붙였다. 각 꼭짓점에서 이어지는 변의 방향을 따라 작은 화살표를 그린 뒤, A에서 시작해 바깥으로 한 번씩 꺾이는 순서를 표시했다.

그림을 돌려 보아도 A 다음은 B, B 다음은 C라는 연결은 달라지지 않았다. 따라서 각의 위치가 그림의 위·아래에 있는지보다, 어느 두 변 사이에서 생긴 외각인지가 기준이 된다는 점을 확인했다. 표시를 마친 뒤 문제에 주어진 순서대로 식을 다시 적었다.

x+(x+20)+80+100+60=360

양변에서 260을 빼면 2x=100이고, 따라서 x=50이다. 이번에는 계산 결과만 적지 않고, 각의 합에 대입해 50+70+80+100+60=360임을 확인했다. 주어진 다섯 외각이 모두 한 바퀴의 회전에 참여하는지도 화살표를 따라 다시 점검했다.

식이 아닌 문장과 표로 바꾸어 적용하기

다음 문제는 같은 숫자를 나열하지 않았다. “한 꼭짓점에서 출발해 다섯 변을 차례로 따라가면 방향이 모두 합쳐 360° 바뀐다. 첫 번째 외각은 두 번째 외각보다 20° 작고, 나머지 세 외각은 각각 80°, 100°, 60°이다. 첫 번째 외각의 크기를 구하여라.”라는 문장으로 제시되었다.

학생은 문장을 곧바로 계산하지 않고, 먼저 대응표를 만들었다.

첫 번째 외각: x°
두 번째 외각: (x+20)°
세 번째부터 다섯 번째 외각: 80°, 100°, 60°
다섯 외각의 전체 합: 360°

이후 표를 식으로 바꾸어 x+(x+20)+80+100+60=360을 세웠다. 질문이 “첫 번째 외각”을 묻고 있으므로 x를 구해야 하며, 두 번째 외각인 x+20을 답으로 쓰면 안 된다는 점도 문장과 표를 대조해 확인했다.

보기 없이 회전된 도형을 다시 읽다

용정동중1수학과외에서 마지막으로 제시한 문제는 도형을 180° 돌려 놓고, 조건의 순서도 바꾼 형태였다. 학생에게는 외각 세 개가 90°, 70°, 110°로 주어지고, 남은 두 외각 중 하나가 다른 하나보다 30° 크다는 조건만 제시되었다. 학생은 도움 없이 작은 외각을 x°로 정하고 큰 외각을 (x+30)°로 적었다.

그다음 꼭짓점에 붙은 숫자의 위치가 아니라 변을 따라 이어지는 외각 다섯 개를 한 줄로 옮겨 적었다.

90+70+110+x+(x+30)=360

상수 부분이 300이므로 2x+30=60, 2x=30, x=15이다. 큰 외각은 45°가 된다. 학생은 “두 미지 외각을 합치면 60°이고, 큰 것이 작은 것보다 30° 크므로 15°와 45°가 된다. 주어진 세 각까지 더하면 360°이므로 외각의 한 바퀴 조건도 맞는다.”라고 풀이 이유를 설명했다. 회전된 그림의 모양이나 조건의 제시 순서에 끌려가지 않고, 대응하는 외각을 연결한 뒤 합을 세우는 과정을 스스로 재현한 것이다.

이처럼 용정동과외 수업에서는 다각형 외각의 합을 계산 공식으로만 다루지 않고, 그림의 회전과 문장·표·식의 변환 속에서도 같은 외각을 정확히 찾아 식으로 옮기는 흐름을 확인했다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

중등 수학

개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.

중1 점검 기준

초등 때 배운 내용과 새 개념이 연결되는지, 교과서의 기본 문제를 혼자 설명할 수 있는지부터 확인합니다.

수업 진행 예시

문장 조건을 식으로 옮기기

어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.

괄호와 부호 확인하기

2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

중등 과외 수업료

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학교급	방문 수업	화상 수업
중등	29~44만 원	26~40만 원

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주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

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용정동 중1수학과외 수업 후기

시험이 끝난 다음 날 저녁, 아이가 공부를 마친 문제집을 치우려다가 여백에 조그맣게 남겨 둔 표시를 봤어요. 계산이 틀리기 시작한 곳만 짚어 놓았더라고요. 용정동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 부분은 눈여겨보지 않았는데, 이번에는 답이나 풀이 전체가 아니라 실수가 생긴 지점을 따로 찾아둔 게 먼저 보였어요. 전에는 책을 다 보고 나면 다시 살펴볼 곳을 남겨 두는 일이 없었거든요. 그런데 그날에는 표시 하나를 해 둔 채 문제집을 정리했습니다. 이후 교재를 펼쳐 둔 자리에서도 계산이 어긋난 첫 부분에 작은 흔적이 있었고, 그 표시를 확인한 다음 그대로 책을 덮더라고요. 계산줄 전체를 다시 적은 건 아니지만, 어디서 잘못됐는지는 찾아 둔 모습이었습니다.

★★★★★수업 후기

책을 다 끝냈다며 책상에서 일어나려던 아이가 문제집 몇 장을 다시 넘기더라고요. 답은 맞았는데 검산을 하지 않은 문제만 골라 접어 두고, 다른 문제와 섞이지 않게 한쪽에 모아뒀어요. 용정동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 눈에 들어왔습니다. 전에는 답이 맞으면 그 자리에서 끝내고, 어떻게 풀었는지 다시 살피는 일은 거의 없었거든요. 그런데 그때는 맞힌 문제라도 검산 여부를 따로 확인하는 모습이었어요. 시험이 없는 평일 밤에도 검산이 필요한 문제만 표시해 둔 뒤 책상을 정리했는데, 다음에 어디를 확인할지 남겨 둔 채 마무리하더라고요.

★★★★★수업 후기

숙제 검사를 받을 때마다 아이가 틀린 문제를 슬쩍 넘기려 해 걱정했는데, 용정동에서 시작한 과외에서는 선생님이 맞힌 문제도 풀이를 다시 말해보게 하며 자연스럽게 확인해 주셨습니다. 시험이 다가오면 새 진도보다 부족한 부분을 다시 살피고, 아이가 부담을 느끼지 않도록 일정과 수업량도 조절해 주셨습니다. 요즘은 틀린 문제 앞에서도 금방 포기하지 않고 다시 이어가는 모습이 보여 만족스럽습니다.

★★★★★수업 후기

학생이 직접 겪은 방학 첫 주 공부 계획을 세울 때, 숙제를 처리하는 방식이 드러나는 장면. 수업을 시작하기 전에는 쉬운 문제도 확신이 없어 틀린 문제는 표시만 하고 다시 풀지 않는 편이었습니다. 처음에는 익숙한 공부 방식이 쉽게 바뀌지 않았습니다. 수업 중에는 숙제와 복습을 챙길 때는 부담을 느끼는 부분은 부모와도 공유해 학습량을 무리하게 늘리지 않았습니다 학생이 스스로 이어갈 시간을 남겨두는 방식이었습니다. 시험기간 모습을 지켜보면 맞힌 문제도 풀이가 괜찮았는지 다시 보는 태도가 조금씩 생겼습니다 큰 변화라기보다 이런 작은 차이가 반가웠습니다. 학부모 관점에서 지켜본 실제 변화라 앞으로의 공부 과정도 차분히 지켜보고 싶습니다.

★★★★★수업 후기

학부모가 옆에서 지켜본 방학 중 생활 리듬이 늦어진 시기, 틀린 문제를 다시 대하는 장면. 평소에는 쉬운 문제도 확신이 없어 선생님 설명을 듣고도 이해했다고 바로 대답하는 편이었습니다. 처음에는 익숙한 공부 방식이 쉽게 바뀌지 않았습니다. 수업 중에는 수업 흐름을 조절할 때는 진도가 예상보다 빠르면 남는 시간을 복습과 오답 확인에 사용했습니다 무리하게 다음 단계로 넘기지 않는 데 초점을 뒀습니다. 몇 차례 수업이 지나고 보니 학교 일정이 바뀌어도 공부 계획을 다시 맞추는 데 덜 힘들어했습니다 성적보다 먼저 이런 변화가 보였다는 점이 좋았습니다. 학부모 관점에서 지켜본 실제 변화라 앞으로의 공부 과정도 차분히 지켜보고 싶습니다.

★★★★★수업 후기