용정동 중1수학과외

용정동 생활권에서 다각형 외각의 합을 다시 세운 풀이

용두암현대1차아파트와 내덕시영아파트가 있는 생활권, 내덕칠거리 인근에서 진행한 중1수학과외에서는 다각형 외각의 합을 단순히 외우는 데서 멈추지 않고, 그림과 문장 사이의 표현을 바꾸어 읽는 연습을 했다. 용성중학교가 포함된 생활권의 학습 자료에서 학생이 붙잡은 문제는 오각형의 외각을 구하는 내용이었다.

그림을 보자마자 생긴 첫 어긋남

문제의 오각형에는 바깥쪽으로 한 바퀴 도는 외각이 차례로 x°, (x+20)°, 80°, 100°, 60°라고 적혀 있었다. 학생은 그림을 공책에 다시 그린 뒤, 위쪽 꼭짓점부터 시계 방향으로 각 이름을 적었다. 그런데 원래 그림이 오른쪽으로 기울어져 있었기 때문에 학생은 모양이 비슷한 꼭짓점을 같은 위치로 옮겨 표시했고, 회전된 그림의 각 표시를 이전 그림의 각과 그대로 연결했다.

그 결과 80°라고 쓰인 각을 60°의 자리로 옮겨 적었고, 식을 x+(x+20)+80+60+100=360으로 세웠다. 계산 자체는 진행할 수 있었지만, 첫 식을 쓰기 전에 각의 대응을 확인하지 않은 것이 풀이가 흔들린 최초의 판단이었다. 외각의 합을 360°로 보는 것은 맞았지만, 어떤 각이 어느 꼭짓점에 놓였는지 확인하지 않은 상태였다.

회전한 그림에서도 각의 연결을 보이게 만들기

이미 알고 있던 ‘외각의 합은 360°’라는 부분은 유지하고, 대응을 표시하는 과정만 고쳤다. 학생은 그림을 다시 복사하지 않고 원래 도형의 꼭짓점에 A, B, C, D, E를 붙였다. 각 꼭짓점에서 이어지는 변의 방향을 따라 작은 화살표를 그린 뒤, A에서 시작해 바깥으로 한 번씩 꺾이는 순서를 표시했다.

그림을 돌려 보아도 A 다음은 B, B 다음은 C라는 연결은 달라지지 않았다. 따라서 각의 위치가 그림의 위·아래에 있는지보다, 어느 두 변 사이에서 생긴 외각인지가 기준이 된다는 점을 확인했다. 표시를 마친 뒤 문제에 주어진 순서대로 식을 다시 적었다.

x+(x+20)+80+100+60=360

양변에서 260을 빼면 2x=100이고, 따라서 x=50이다. 이번에는 계산 결과만 적지 않고, 각의 합에 대입해 50+70+80+100+60=360임을 확인했다. 주어진 다섯 외각이 모두 한 바퀴의 회전에 참여하는지도 화살표를 따라 다시 점검했다.

식이 아닌 문장과 표로 바꾸어 적용하기

다음 문제는 같은 숫자를 나열하지 않았다. “한 꼭짓점에서 출발해 다섯 변을 차례로 따라가면 방향이 모두 합쳐 360° 바뀐다. 첫 번째 외각은 두 번째 외각보다 20° 작고, 나머지 세 외각은 각각 80°, 100°, 60°이다. 첫 번째 외각의 크기를 구하여라.”라는 문장으로 제시되었다.

학생은 문장을 곧바로 계산하지 않고, 먼저 대응표를 만들었다.

첫 번째 외각: x°
두 번째 외각: (x+20)°
세 번째부터 다섯 번째 외각: 80°, 100°, 60°
다섯 외각의 전체 합: 360°

이후 표를 식으로 바꾸어 x+(x+20)+80+100+60=360을 세웠다. 질문이 “첫 번째 외각”을 묻고 있으므로 x를 구해야 하며, 두 번째 외각인 x+20을 답으로 쓰면 안 된다는 점도 문장과 표를 대조해 확인했다.

보기 없이 회전된 도형을 다시 읽다

용정동중1수학과외에서 마지막으로 제시한 문제는 도형을 180° 돌려 놓고, 조건의 순서도 바꾼 형태였다. 학생에게는 외각 세 개가 90°, 70°, 110°로 주어지고, 남은 두 외각 중 하나가 다른 하나보다 30° 크다는 조건만 제시되었다. 학생은 도움 없이 작은 외각을 x°로 정하고 큰 외각을 (x+30)°로 적었다.

그다음 꼭짓점에 붙은 숫자의 위치가 아니라 변을 따라 이어지는 외각 다섯 개를 한 줄로 옮겨 적었다.

90+70+110+x+(x+30)=360

상수 부분이 300이므로 2x+30=60, 2x=30, x=15이다. 큰 외각은 45°가 된다. 학생은 “두 미지 외각을 합치면 60°이고, 큰 것이 작은 것보다 30° 크므로 15°와 45°가 된다. 주어진 세 각까지 더하면 360°이므로 외각의 한 바퀴 조건도 맞는다.”라고 풀이 이유를 설명했다. 회전된 그림의 모양이나 조건의 제시 순서에 끌려가지 않고, 대응하는 외각을 연결한 뒤 합을 세우는 과정을 스스로 재현한 것이다.

이처럼 용정동과외 수업에서는 다각형 외각의 합을 계산 공식으로만 다루지 않고, 그림의 회전과 문장·표·식의 변환 속에서도 같은 외각을 정확히 찾아 식으로 옮기는 흐름을 확인했다.

용정동 중1수학과외 학부모 후기

단원평가를 앞두고 책을 정리하던 밤, 아이가 해설지와 자기 풀이를 펼쳐 놓고 두 내용을 한 줄씩 대조하고 있더라고요. 끝까지 답을 맞춰 보려는 게 아니라, 풀이가 처음 달라지는 부분을 찾아 그 자리만 잠시 들여다보게 됐어요. 용정동 수학과외를 알아보며 여러 자료를 챙기던 때라 이런 모습이 더 눈에 들어왔습니다. 중간고사 일주일 예전에는 자료를 순서대로 반복해서 보던 아이였어요. 무엇부터 확인할지 스스로 고르기보다는 앞에서부터 다시 풀곤 했거든요. 그런데 그날은 해설과 자기 풀이를 나란히 놓고 첫 번째로 달라진 한 줄만 골라 비교하고 있었습니다. 책상 위에 남은 건 질문할 부분을 따로 지우지 않고 그대로 둔 흔적이었어요. 예전처럼 전부 처음부터 되짚은 게 아니라, 서로 달라진 지점을 먼저 찾아본 뒤 그 부분을 남겨 둔 채 책을 정리하더라고요.

★★★★★학부모 후기

수업 전 질문 표시를 확인하다가 두 풀이를 나란히 적어 둔 흔적이 눈에 띄었어요. 좌우로 놓인 계산을 비교하면서 처음 달라지는 단계에 표시가 남아 있더라고요. 확인한 부분을 그냥 넘기지 않고 그 자리에서 찾아본 모양이었습니다. 오답이 많이 나온 단원을 다시 펼친 날에도 비슷한 장면을 보게 됐어요. 잠깐 방에 들어갔는데 아이가 두 풀이를 옆으로 맞춰 놓고 어느 단계부터 달라졌는지 살피고 있었습니다. 예전에는 막히는 부분이 있어도 따로 표시하지 않은 채 다음 공부로 넘어가곤 했거든요. 용정동 수학과외 이야기를 나누며 봤던 여러 장면 중에서도, 이번에는 답을 먼저 찾기보다 두 풀이의 차이가 시작되는 곳에 흔적을 남긴 점이 가장 눈에 띄었어요.

★★★★★학부모 후기

새 단원 진도를 나가던 첫 주에 책상 위를 보니, 아이가 함수 문제의 그래프를 한 번 더 그리고 있더라고요. 식만 보고 답을 고르는 게 아니라 그래프를 옆에 놓고 서로 같은 조건을 나타내는지 맞춰 보는 모습이었어요. 용정동 수학과외를 찾을 때도 이런 식으로 집에서 확인하는 장면이 있을까 궁금했는데, 막상 눈앞에서 보니 꽤 달라 보였습니다. 예전 복습 시간에는 자기 풀이보다 정답이나 해설지를 먼저 펼치는 일이 많았거든요. 그런데 이번에는 그래프와 식을 번갈아 보면서 자신의 답을 먼저 점검하고 있었습니다. 새 모의고사 문제를 읽던 오후에도 함수의 식과 그래프를 나란히 비교했고, 중간에 멈춘 곳에는 다시 시작할 위치가 보이도록 표시까지 해두었어요.

★★★★★학부모 후기

수행평가 준비와 시험공부가 겹친 주간에도 용정동 수업에서 틀린 문제를 따로 모아 다시 살펴보는 모습이 기억에 남았습니다. 예전에는 조금 풀다 막히면 손을 놓았지만, 선생님이 수업 끝에 그날 복습할 내용과 다음에 볼 내용을 나눠 주셔서 모르는 것을 숨기지 않고 질문하기 시작했습니다. 집에서도 한 문제 때문에 수학 전체를 포기하는 일이 줄었습니다.

★★★★★학부모 후기

용정동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 시험이 다가오면 새로운 문제를 많이 풀어야 마음이 놓였고, 문제를 끝까지 읽는 습관도 부족했습니다. 선생님은 어려운 단원을 앞두고 문제 수를 줄이는 날에도 틀린 이유를 함께 정리하고, 제가 혼자 복습할 시간까지 남겨 주셨습니다. 복습을 미루는 날이 있어도 다음 날 다시 이어가는 일이 조금씩 늘어 뿌듯했습니다.

★★★★★학부모 후기

학원과 학교 일정이 겹쳐 귀가가 늦은 날에도 아이가 바로 책상에 앉아 숙제를 살피는 모습이 보여 기억에 남았습니다. 용정동 수학과외 선생님은 시험 기간 할 일을 기억하기 쉽도록 짧게 나누고, 설명보다 이해했는지를 먼저 확인해 주셨습니다. 계획이 조금 밀려도 다시 조정해 이어가고, 모르는 문제는 질문할 내용을 준비하는 모습이 전보다 자연스러워졌습니다.

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