금천동 중3수학과외

금천동 중3수학과외, 산점도에서 ‘가까운 점’만 보면 생기는 판단 오류

금천동과외 수업에서 산점도 두 개를 비교하는 문제를 다뤘습니다. 금천중학교와 청주동중학교가 포함된 생활권에서 접할 수 있는 자료를 예로 들었을 뿐, 학교별 문제 경향을 판단하지는 않았습니다.

답안지에 남은 첫 판단

주말 복습 때 다음과 같은 두 산점도를 제시했습니다. 가로축은 주말 학습 시간, 세로축은 복습 문제의 정답 수였습니다.

• 산점도 A: 점 10개가 오른쪽 위 방향으로 대체로 모여 있지만, 가운데에 조금 떨어진 점도 있음
• 산점도 B: 왼쪽 아래와 오른쪽 위에 가까운 점 3개가 있고, 나머지 점들은 넓게 흩어져 있음

학생은 B의 오른쪽 위에 붙은 세 점을 동그라미로 표시한 뒤 이렇게 적었습니다.

“B는 세 점이 거의 한 줄이므로 A보다 관계가 강하다.”

이후 두 산점도의 점을 하나씩 세고, B에서 동그라미 친 세 점 사이의 간격을 다시 확인했습니다. 하지만 A의 전체 점들이 한 방향으로 모여 있는지는 충분히 살피지 않았습니다. 처음 식이나 계산이 틀린 것이 아니라, 비교할 대상을 전체 점 분포가 아닌 일부 가까운 점으로 좁힌 순간 판단이 어긋났습니다.

가까운 점을 지우는 것이 아니라 비교 기준을 바로 세우기

오류가 시작된 문장만 고쳐 보았습니다. B의 세 점을 근거로 “관계가 강하다”고 말하는 대신, 두 그림의 모든 점이 어느 방향으로 얼마나 모여 있는지 먼저 확인하게 했습니다.

A에서는 점 대부분이 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 이어지는 띠 안에 놓여 있었습니다. 점 사이의 간격이 완전히 같지는 않았지만, 전체적으로 한 방향의 흐름이 보였습니다. 반면 B는 가까운 세 점이 있더라도 다른 점들이 여러 위치로 넓게 퍼져 있어 전체적인 방향성이 약했습니다.

따라서 학생은 기존에 세어 둔 점의 개수와 표시를 그대로 둔 채 결론만 다음과 같이 바꾸었습니다.

“일부 점의 간격이 아니라 전체 점이 한 방향으로 모인 정도를 비교하면 A의 관계가 더 강하다.”

이번 교정에서는 상관관계의 종류를 새로 분류하거나 다른 단원으로 넘어가지 않았습니다. 몇 개의 가까운 점을 먼저 보는 행동을 멈추고 전체 분포를 비교하는 것 하나만 수정했습니다.

표현을 바꾼 독립 문제

다음에는 점의 수와 그림의 모양을 바꾸었습니다. 이번에는 가로축을 하루의 기온, 세로축을 아이스크림 판매량으로 두고, 산점도 P와 Q를 표식으로 나타냈습니다.

• P: 점 8개가 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 이어지는 넓은 띠를 이루며, 오른쪽 끝의 한 점만 띠에서 조금 벗어남
• Q: 점 5개는 가운데에 모여 있고, 나머지 4개는 위와 아래로 멀리 떨어져 있어 전체 범위가 넓음

질문은 “한 점을 제외하고 보아도 어느 산점도의 전체적인 관계가 더 뚜렷한가?”였습니다. 이번에는 조건이 그림의 마지막이 아니라 질문 중간에 들어 있었습니다. 학생은 P의 예외 점 하나만 따로 표시한 뒤, 나머지 일곱 점이 같은 방향으로 모여 있는지 확인했습니다. Q의 가운데 다섯 점이 더 촘촘해 보여도, 위아래로 떨어진 점까지 포함하면 P의 전체 흐름이 더 뚜렷하다고 판단했습니다.

이 판단은 단순히 숫자만 바꾼 반복이 아닙니다. 처음에는 가까운 세 점을 고르는 오류가 있었고, 이번에는 일부 점을 제외한다는 조건과 표식의 위치가 달랐습니다. 그래도 기준은 변하지 않았습니다. 가까운 점의 개수가 아니라 전체 점의 방향성과 퍼짐을 살핀 것입니다.

힌트 없이 남긴 마지막 설명

마지막 검증에서는 새로운 두 산점도를 설명 없이 제시했습니다. R은 점 12개가 오른쪽 위로 완만하게 모여 있고 한 점이 아래로 떨어져 있었습니다. S는 점 4개가 오른쪽 위에 모여 있었지만 나머지 8개는 넓은 영역에 흩어져 있었습니다.

학생은 별도의 표시 없이 다음 순서로 답했습니다.

“먼저 모든 점을 함께 본다. R은 한 점을 제외해도 나머지 점들이 비슷한 방향으로 모여 있으므로 전체 관계가 유지된다. S는 가까운 네 점만 보면 강해 보이지만, 나머지 점까지 포함하면 퍼짐이 커서 전체 관계가 약하다. 따라서 R이 더 강한 관계를 보인다.”

이어 한 점을 제외한 뒤에도 판단이 바뀌는지 스스로 확인했습니다. R에서는 예외 점을 빼도 결론이 그대로였고, S에서는 가까운 네 점만 남기면 결론이 달라졌습니다. 이 검산을 통해 학생은 산점도를 볼 때 특정 점 몇 개의 간격이나 모양에 끌리지 않고, 전체 점이 한 방향에 얼마나 모여 있는지와 예외 점을 제외해도 경향이 유지되는지를 독립적으로 점검했습니다.

이처럼 금천동중3수학과외에서는 산점도 비교의 기준을 넓혀 다른 개념으로 확장하지 않고, 점의 전체 분포와 퍼짐 정도를 읽는 한 가지 판단에 집중했습니다.