금천동 중1수학과외

금천동 생활권에서 다각형의 내각을 다시 읽는 과정

금천동과외 수업에서 학생은 금천중학교와 청주동중학교가 포함된 생활권의 서술형 문제를 풀었다. 용두암현대1차아파트와 내덕칠거리 인근 생활권에서 접할 수 있는 안내판 모양을 본떠 만든 문제였지만, 핵심은 그림의 모양을 대충 세는 것이 아니라 다각형의 내각의 합을 어떤 경계와 조건에 적용하는가에 있었다.

답보다 먼저 살펴본 한 줄

문제의 그림은 오목한 부분이 있는 다각형이었다. 학생은 꼭짓점 수를 세어 7개라고 적고, 곧바로 “내각의 합은 (7-2)×180°=900°”이라고 계산했다. 이어서 주어진 각이 110°, 125°, 90°, 140°, 115°라고 표시되어 있으므로 나머지 두 각의 합은 320°라고 썼다.

계산 자체는 자연스러워 보였지만, 풀이가 어긋난 지점은 계산식이 아니었다. 학생은 오목한 경계 안쪽에 생긴 각을 모두 일반적인 내부 각처럼 세면서도, 그림에서 어느 쪽이 다각형의 내부인지 확인하지 않았다. 즉, 꼭짓점의 개수만 세고 경계가 꺾이는 방향을 판단하지 않은 채 공식을 적용한 것이 최초의 잘못이었다.

다각형의 내각은 꼭짓점 수만으로 결정하지 않고, 주어진 그림에서 실제로 도형의 안쪽을 이루는 각인지 먼저 확인해야 한다.

경계에 표시를 더한 뒤 식을 고치다

학생은 그림의 경계를 따라 연필로 한 바퀴 표시했다. 각 꼭짓점마다 도형의 안쪽에 작은 호를 그리고, 오목한 꼭짓점에서는 호가 어느 쪽에 놓이는지 따로 표시했다. 그 결과 문제의 선분 하나는 장식선으로 그어진 것이어서 다각형의 경계가 아니며, 실제 경계는 6개의 변으로 이루어진다는 점을 찾아냈다.

따라서 내각의 합은 (6-2)×180°=720°이다. 주어진 다섯 각의 합은 110°+125°+90°+140°+115°=580°이므로 표시되지 않은 한 각은 720°-580°=140°이다. 학생은 답안에 “실제 경계가 6개의 변인 육각형이므로 내각의 합은 720°이다. 주어진 각의 합을 빼면 구하는 각은 140°이다”라고 단위를 붙여 적었다.

그림을 돌려도 같은 기준을 찾기

다음 문제에서는 같은 종류의 다각형이 90도 돌아간 상태로 제시되었고, 조건도 그림 아래가 아니라 옆쪽에 적혀 있었다. 질문은 “표시되지 않은 각의 크기”가 아니라 “두 표시 각을 제외한 나머지 각의 합”을 묻고 있었다. 학생은 예전처럼 그림의 방향부터 보지 않고, 먼저 경계를 따라 꼭짓점에 번호를 붙였다.

연결된 선분이 실제 외곽선인지 확인한다.
번호가 붙은 꼭짓점에서 도형 안쪽에 생기는 각만 센다.
질문이 한 각인지 여러 각의 합인지 문장 끝까지 확인한다.

이번에는 오목한 부분을 제외하지 않고 경계에 포함된 꼭짓점으로 세어 8각형임을 판단했다. 내각의 합 1080°에서 조건으로 주어진 각들의 합을 빼고, 질문이 요구한 세 각의 합으로 답을 정리했다. 방향이 바뀌고 조건의 순서가 달라져도 경계와 질문을 먼저 확인하자 같은 개념으로 풀이가 이어졌다.

조건을 표로 옮겨 검산한 장면

서술형 답안을 점검할 때 학생은 꼭짓점 이름을 표로 정리했다. “A와 C의 각은 각각 110°, 125°”, “E와 F의 각의 합은 250°”처럼 주어진 조건과 구하는 대상을 분리해 적었다. 이후 내각의 합에서 이미 알려진 각을 뺀 값이 실제로 남은 각들의 합과 같은지 다시 확인했다.

특히 첫 문제로 돌아가 7개의 꼭짓점을 세었던 흔적을 지우지 않고, 그 옆에 “장식선은 경계가 아님”이라고 적었다. 7각형으로 계산하면 900°가 나오지만, 실제 경계가 6개이므로 720°가 맞다는 근거를 설명했다. 답만 고친 것이 아니라 어떤 선을 경계로 볼지 판단한 이유까지 남긴 것이다.

힌트 없이 다시 풀어 본 최종 확인

금천동중1수학과외의 마지막 확인에서는 새 그림과 새로운 조건 순서를 제시했다. 학생은 도움 없이 먼저 외곽선을 따라 손가락으로 움직이며 변과 꼭짓점을 세고, 각 호가 도형 안쪽에 표시되었는지 확인했다. 그다음 다각형의 내각의 합을 구하고, 주어진 각을 한 줄씩 더한 뒤 질문이 요구한 값의 범위에 맞게 뺐다.

학생은 “이 문제는 그림이 돌아가 있어도 실제 경계의 꼭짓점 수가 기준이다. 장식선이나 연장선은 변으로 세지 않는다. 계산한 값은 내각의 전체 합에서 주어진 각의 합을 뺀 것이므로, 마지막에 주어진 각과 구한 각을 모두 더해 전체 합이 되는지 확인할 수 있다”고 설명했다. 새로운 모양에서도 첫 판단과 검산 근거를 스스로 세웠다는 점에서, 다각형의 내각의 합을 단순 공식이 아니라 경계와 조건에 연결해 재현했음을 확인했다.