금천동 중2수학과외

조건의 모양보다 먼저 본 평행사변형의 경계

금천동과외 수업에서 학생이 가져온 문제는 사각형의 네 변과 각에 관한 조건을 보고 평행사변형인지 판단하는 유형이었다. 금천중학교와 청주동중학교가 포함된 생활권, 용두암현대1차아파트와 내덕시영아파트가 있는 생활권에서 자주 접하는 학교 시험형 문제와 비슷했지만, 핵심은 계산량이 아니라 조건이 충분한지 구분하는 데 있었다.

문제의 보기에는 “한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같다”, “두 쌍의 대변이 각각 같다”, “한 쌍의 대변만 평행하다”와 같은 문장이 섞여 있었다. 학생은 먼저 도형에 꼭짓점 이름을 붙이고, 마주 보는 변에는 같은 색으로 표시했다. 이어 평행 기호와 변의 길이를 문제 문장 옆에 옮겨 적은 뒤, 각 보기에서 평행한 변과 같은 길이인 변이 어느 쌍인지 표로 정리했다.

그런데 세 번째 보기에서 한 쌍의 대변이 평행하다는 조건만 보고 곧바로 평행사변형이라고 표시했다. “마주 보는 변 하나가 평행하면 나머지도 평행할 것”이라고 생각해, 나머지 변에 대한 조건은 확인하지 않은 채 답을 골랐다. 계산이나 표시가 틀어진 것이 아니라, 주어진 조건 하나가 평행사변형이 되기에 충분한지 묻는 순간에 일반적인 성질을 역으로 사용한 것이 최초의 어긋남이었다.

충분한 조건과 단순한 성질을 분리하기

교정할 때 이미 해 둔 꼭짓점 표시와 대응변 표시는 그대로 두었다. 대신 학생이 적은 문장 아래에 “조건인가, 평행사변형일 때의 성질인가”를 나누어 적게 했다. 평행사변형이면 두 쌍의 대변이 각각 평행하고 길이가 같지만, 한 쌍의 대변만 평행하다는 사실만으로는 평행사변형이라고 결론 낼 수 없다. 다른 한 쌍까지 평행하거나, 한 쌍의 대변이 평행하면서 그 길이도 같다는 조건처럼 도형 전체를 결정할 정보가 필요하다.

학생은 세 번째 보기의 한 변 쌍에만 평행 표시가 있다는 점을 다시 확인하고, 반대쪽 변에는 어떤 표시도 없음을 찾아냈다. 그 뒤 “이 조건은 평행사변형에서 나타날 수 있는 성질이지만, 이것만으로 충분하다고 할 수 없다”고 옆에 적었다. 조건이 달라지는 보기에서는 외심과 내심의 정의를 섞어 읽던 흔적도 발견했다. 다만 이번 문제에서 필요한 것은 원의 중심을 찾는 일이 아니므로, 해당 표시를 지우고 대응점·대응변·대응각을 연결하는 데 집중했다. 평행사변형 판단과 관계없는 정의를 끌어오지 않도록 범위를 다시 좁힌 것이다.

“평행사변형이면 성립하는가?”와 “이 조건만으로 평행사변형이라고 정할 수 있는가?”는 서로 다른 질문이다.

표에서 문장으로 바뀐 조건을 다시 판단하다

같은 개념을 숫자만 바꾸어 반복하지 않고, 다음 문제에서는 그림 대신 문장과 대응표를 제시했다. 사각형 ABCD에서 AB와 CD가 서로 평행하고, AB와 CD의 길이가 같다고 주어졌다. 질문은 “이 사각형이 평행사변형인지, 판단에 사용한 조건을 설명하라”였다.

• 학생은 먼저 AB와 CD를 마주 보는 변으로 연결했다.
• 두 변에 평행 표시와 같은 길이 표시가 함께 있다는 점을 확인했다.
• “한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으면 평행사변형이 될 수 있는 충분한 조건”이라고 적었다.
• 반대로 “AB와 CD가 평행하다”만 남긴 문장에서는 다른 한 쌍의 변에 관한 정보가 없으므로 판단을 보류했다.

이번에는 조건의 순서도 바꾸었다. “CD와 AB의 길이가 같고, 두 변은 평행하지 않다”라는 문장을 읽자 학생은 길이 조건만으로 결론을 내리지 않았다. 같은 길이인 대변이라는 정보와 평행이라는 정보가 모두 필요한지 확인한 뒤, 평행 조건이 부정되어 있으므로 충분한 조건이 되지 않는다고 설명했다. 질문이 “평행사변형이 되는 조건을 고르라”에서 “왜 이 조건만으로는 부족한가”로 바뀌었지만, 학생은 먼저 대응변을 찾고 조건의 개수를 확인하는 순서를 유지했다.

힌트 없이 경계 안팎을 나눈 최종 확인

금천동중2수학과외 수업의 마지막에는 새 도형 문제를 도움 없이 풀게 했다. 보기에는 “AB∥CD”, “AB=CD”, “AD∥BC”, “AB=BC”가 각각 따로 제시되었고, 그중 평행사변형을 판단할 수 있는 조건을 고르는 문제였다.

학생은 첫 줄에서 바로 “한 쌍의 대변이 평행하다는 조건만으로는 부족하다”고 선을 그었다. 이어 AB∥CD와 AB=CD가 함께 있는 경우에는 충분하다고 표시하고, AD∥BC가 추가된 경우에도 두 쌍의 대변이 평행하므로 충분하다고 판단했다. AB=BC는 이웃한 변의 길이 조건이므로 평행사변형을 결정하는 조건으로 사용하지 않았다.

검산에서는 선택한 조건을 평행사변형의 정의와 성질에 대입했다. 두 쌍의 대변이 평행한 경우에는 정의에 맞는지 확인했고, 한 쌍의 대변이 평행하면서 같은 길이인 경우에는 그 조건이 충분한지 다시 설명했다. 학생은 “표시가 하나뿐인 조건은 경계 밖, 평행과 길이가 함께 연결되거나 두 쌍이 평행한 조건은 경계 안”이라고 스스로 말하며, 처음처럼 한 조건만 보고 결론 내리지 않았다.