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신평동 고등수학과외

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신평동 고등수학과외에서는 순열 공식을 빠르게 대입하는 것보다, 배열의 조건을 읽고 같은 대상을 몇 번 세었는지 확인하는 훈련을 중시한다. 대동고등학교와 성일여자고등학교 학생이 자주 마주하는 유형도 숫자 계산보다 ‘순서가 다른가, 같은가’를 구분하는 데서 풀이가 갈린다. 신평현대아파트와 사하코오롱하늘채아파트 생활권에서 진행한 수업에서는 16개 자리를 배열하는 문제를 통해 중복 나누기의 첫 오류를 직접 추적했다.

16개 자리에서 멈춘 지점

학생에게 16개의 자리에 여러 기호를 배열하는 문제를 제시하자, 학생은 전체 자리를 먼저 16!으로 계산한 뒤 같은 기호가 있다는 사실을 보고 임의의 수로 나누려 했다. 풀이 첫 줄에는 “같은 것이 있으므로 중복을 제거한다”라고 적었지만, 왜 몇 번 중복되는지에 대한 근거는 없었다. 후보 답을 보면서 2!, 3!, 4!를 번갈아 적용한 탓에 식의 모양은 순열처럼 보였으나 답을 선택할 기준이 사라졌다.

여기서 표본공간을 다시 썼다. 16개 자리를 모두 서로 다른 이름으로 붙여 세는 방식은 실제 배열에서 구별되지 않는 기호까지 구별해 세는 셈이다. 예를 들어 16개 기호 중 A가 3개, B가 2개이고 나머지 11개가 서로 다르다면, A 세 개의 자리를 서로 바꾸어도 같은 배열이다. B 두 개도 마찬가지다. 따라서 각 실제 배열은 A의 순서를 바꾼 3!번과 B의 순서를 바꾼 2!번씩 반복된다.

같은 배열이 몇 번 만들어지는지를 먼저 세고, 그 반복 횟수만큼 나눈다.

그러므로 이 예에서는 전체를 3!·2!로 나누어야 한다. 단순히 같은 종류가 두 개 있다는 이유로 2!만 나누거나, 기호의 개수 합을 기준으로 나누는 것은 맞지 않는다. 학생은 배열 하나를 골라 A 세 개의 위치를 교환하고, 다시 B 두 개의 위치를 교환하면서 동일한 배열이 반복되는 과정을 직접 표시했다. 후보해 옆에는 ‘A 내부 교환 6회, B 내부 교환 2회’라고 근거를 적게 했다.

나누기 전에 순서를 판정하는 연습

중복 배열 문제와 선택 문제를 섞어 미니 문항도 풀었다. 6개 중 5개를 고르는 상황에서는 순서를 고려하는지 먼저 표시하고, 14개 중 6개를 뽑는 문제에서도 배열인지 선택인지 문장에 밑줄을 그었다. 같은 물건을 고르는 문제라도 자리를 정해 배치하면 순열이고, 단순히 뽑은 집합만 묻는다면 조합이다. 이 구분 없이 공식을 고르면 중복 나누기 이전에 표본공간 자체가 달라진다.

다음 수업에서는 조건을 하나 삭제한 새 문제를 제시했다. 처음에는 16개 자리 중 특정 위치가 정해져 있었지만, 이번에는 그 위치 조건을 없애고 같은 기호의 개수만 남겼다. 학생은 전날 식을 그대로 옮기지 않고, 전체 자리의 자유도가 달라졌는지 확인한 뒤 다시 반복 횟수를 계산했다. 같은 기호가 3개와 2개라는 정보가 유지되는 동안에는 3!·2!로 나누지만, 특정 기호를 서로 다른 이름으로 구별하도록 조건을 바꾸면 그 나눗셈을 유지할 수 없다는 점도 함께 확인했다.

반례로 답을 검산하다

마지막에는 중복 나누기를 생략한 계산이 왜 틀리는지 작은 배열로 축소했다. A, A, B 세 글자를 배열하면 겉으로 가능한 위치 선택은 3!이지만 실제로는 AAB, ABA, BAA 세 가지뿐이다. A 두 개를 서로 바꾼 경우가 동일한 배열을 다시 만들기 때문에 2!로 나누어야 한다. 학생은 큰 문제의 식을 믿는 대신 이 반례를 통해 ‘생략하면 각 배열을 두 번 세게 된다’는 사실을 확인했다.

이 검산은 답만 맞추는 절차가 아니다. 같은 배열 하나를 정하고, 이름을 붙인 A₁과 A₂의 위치를 바꾼 뒤 원래 배열로 돌아오는지를 확인하는 역검산이다. 16개 자리에서도 반복 교환 횟수가 실제로 일정한지 점검하면, 나누어야 할 인수가 단순한 추측인지 구조에서 나온 값인지 구별할 수 있다.

자주 묻는 질문

  • 같은 것이 있으면 항상 팩토리얼로 나누나요?
    서로 바꾸어도 관찰상 같은 배열이 되는 경우에만 그 개수의 팩토리얼을 나눕니다.
  • 16개 자리라는 수만 알면 답을 정할 수 있나요?
    아닙니다. 각 기호가 몇 번 반복되는지와 배열인지 선택인지가 필요합니다.
  • 특정 자리가 고정되면 중복 나누기도 달라지나요?
    고정된 기호와 남은 기호의 개수를 다시 세어야 하므로 식을 그대로 옮길 수 없습니다.
  • 가장 간단한 검산 방법은 무엇인가요?
    기호 수를 줄인 작은 반례를 만들어 실제 배열 수와 중복 횟수를 비교하는 방법이 유용합니다.

신평동 고등수학과외 학부모 후기

금요일 밤에 공부를 마친 아이가 시험지를 챙기는 모습을 잠깐 보게 됐어요. 틀린 문제를 유형별로 따로 옮겨 적는 줄 알았는데, 시험지 원본 옆에 틀린 이유만 짧게 적어두고 있더라고요. 다시 볼 자료를 고르는 것보다 어디를 확인해야 하는지 바로 좁혀 놓은 모습이 눈에 띄었습니다. 예전에는 다시 살펴볼 자료를 정해도 막연하게 범위만 잡아두는 편이었거든요. 이번에는 틀린 문제를 따로 분류하지 않고, 원래 시험지에서 이유가 적힌 부분을 찾아보면 되게 해두었어요. 신평동 수학과외 후기를 찾아보던 중에도 이런 실제 장면이 궁금했는데, 집에서 보니 변화가 더 분명했습니다. 새 계산 파일을 재생해 보던 때에도 같은 식으로 처리했어요. 틀린 이유를 짧게 남긴 뒤 다른 자료로 옮기지 않고, 처음 틀린 문제가 있던 자리에 그대로 표시해 두었습니다.

★★★★★학부모 후기

문제집을 챙기다가 맨 뒤쪽에 짧게 적힌 메모가 눈에 들어왔어요. 자주 틀리는 계산 습관을 그냥 지나치지 않고, 어떤 식으로 실수하는지 자기 말로 남겨 둔 흔적이더라고요. 신평동 수학과외를 알아보던 중에도 아이가 공부한 뒤 이런 부분까지 살펴볼 거라고는 생각하지 못했거든요. 예전에는 문제를 다 풀고 나면 그날 어떤 판단을 했는지 다시 돌아보는 일이 거의 없었어요. 그런데 시험이 없는 평일 밤에도 반복되는 계산 실수를 한 문장으로 적어 두고, 다음에 확인할 곳까지 남겨 둔 뒤 책상을 정리하고 있었습니다. 문제를 끝낸 뒤 바로 치우던 모습과 달리, 계산 과정에서 걸렸던 부분을 다시 찾아볼 자리를 마련해 둔 점이 기억에 남더라고요.

★★★★★학부모 후기

주말에 늦잠을 자 수업 시간을 조정한 날에도 선생님은 신평동까지 일정에 맞춰 편하게 수업을 이어가 주셨습니다. 시험 기간에는 아이의 학습 태도와 이해 정도를 부모에게 자세히 알려 주셨고, 아이도 수업 전 질문할 문제를 표시해 두며 수학을 대하는 마음이 한결 여유로워졌습니다.

★★★★★학부모 후기

시험이 끝난 주말에도 아이가 수업에서 배운 내용을 먼저 꺼내 말하는 모습이 신기했습니다. 신평동에서 과외를 시작할 때만 해도 틀린 문제를 다시 보는 걸 힘들어하고 풀이가 길어지면 금방 포기했는데, 선생님은 맞힌 문제도 풀이를 짧게 설명하게 하며 그날 할 일과 다음 복습을 나눠 주셨습니다. 요즘은 답을 바로 확인하기보다 틀린 이유부터 생각해보려 합니다.

★★★★★학부모 후기

수업을 마친 뒤 아이가 신평동에서 배운 문제를 다시 펼쳐 보며, 모르는 부분을 표시해 두는 모습이 기억에 남았습니다. 혼자 해결하려다 계산이 복잡해지면 쉽게 막혔는데, 선생님은 아이의 반응을 살피며 밀린 숙제를 한꺼번에 내주지 않고 먼저 할 일부터 정해 주셨습니다. 이제는 무엇을 복습해야 할지 스스로 정리하려는 모습이 눈에 띕니다.

★★★★☆학부모 후기