신평동 중2수학과외
신평동 중2수학과외에서 시작한 부등식 판단 훈련
신평동과외 수업에서 학생은 대동중학교가 포함된 생활권의 교과서 문제를 풀다가 식의 모양은 비슷하지만 답을 적는 방식이 달라지는 장면에서 멈췄다. 문제는 다음과 같았다.
3x-5≤7을 풀어라.
학생은 먼저 양변에 5를 더하는 대신, 왼쪽의 -5를 오른쪽으로 넘기며 “3x≤7-5”라고 적었다. 이후 3으로 나누어 x≤2/3을 구했지만, 계산 결과가 이상하다는 점은 발견하지 못했다. 식을 간단히 정리하는 데 바로 들어가면서, 등식인지 부등식인지와 이항할 때 부호가 어떻게 바뀌는지를 따로 확인하지 않은 것이 출발점이었다.
계산보다 먼저 확인한 한 줄
교사는 전체 풀이를 지우게 하지 않고, 학생이 처음 적은 이항 부분만 다시 보게 했다. “-5를 넘긴다”는 표현 대신 양변에 같은 수를 적용하는 방식으로 한 줄을 바꾸었다.
학생은 식 아래에 다음처럼 나란히 기록했다.
- 왼쪽: 3x-5+5
- 오른쪽: 7+5
- 정리: 3x≤12
이때 부등호는 그대로 두었다. 양변에 같은 수를 더했기 때문이다. 학생은 이어서 양변을 3으로 나누고 x≤4를 얻었다. 교사는 이미 맞았던 “양변을 같은 수로 처리한다”는 과정을 유지하게 하고, 처음의 잘못된 이항 표현만 고치도록 했다. 방정식처럼 하나의 값만 찾는 것이 아니라, 부등식에서는 조건을 만족하는 x의 범위를 찾는다는 점도 답 옆에 짧게 표시했다.
다음 문제에서는 형태를 바꾸었다.
-2x+6>10의 해를 수직선에 나타내어라.
학생은 이번에는 계산을 시작하기 전 식의 기호를 동그라미로 표시했다. “부등식이므로 마지막에 음수로 나누면 방향을 확인해야 한다”고 먼저 말한 뒤, 양변에서 6을 빼서 -2x>4를 만들었다. 그다음 양변을 -2로 나누면서 부등호 방향을 반대로 바꾸어 x<-2라고 적었다. 수직선에서는 -2를 빈 점으로 표시하고 왼쪽을 칠했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 양의 계수에서 음의 계수로 바뀌고 해를 수직선으로 표현해야 했지만, 학생은 계산 전 기준을 먼저 세웠다.
방정식과 나란히 놓아 본 비교
이후 교사는 같은 수를 포함한 두 식을 나란히 제시했다.
- 2x-3=9
- 2x-3≤9
학생은 첫 번째에는 등호를 유지하며 x=6을 구했고, 두 번째에는 x≤6으로 범위를 적었다. “등식은 양쪽이 같은 값을 이루는 x를 찾고, 부등식은 조건을 만족하는 범위를 남긴다”고 풀이 옆에 직접 설명했다. 이어서 두 답을 원래 식에 대입해 확인했다. x=6을 첫 번째 식에 넣으면 양변이 9로 같았고, 두 번째 식에는 x=5를 넣어 7≤9가 성립하는지 확인했다. 반대로 x=7을 넣으면 11≤9가 거짓이어서 범위의 경계도 점검했다.
신평현대아파트와 사하코오롱하늘채아파트가 있는 생활권에서 이어진 신평동중2수학과외 수업에서는 새로운 문장형 문제도 다뤘다.
어떤 수에 4를 더한 값이 10보다 작거나 같다. 그 수가 될 수 있는 범위를 구하여라.
학생은 문장을 먼저 x+4≤10으로 바꾸고, “작거나 같다”를 ≤로 표시했다. 양변에서 4를 빼 x≤6을 얻은 뒤, x=6은 조건을 만족하고 x=7은 만족하지 않는다고 검산했다. 이번에는 식이 방정식처럼 보이지 않는다는 이유가 아니라, 문장의 조건과 부등호를 대응시켜 첫 판단을 세웠다.
도움 없이 다시 세운 기준
수업 끝에는 교사의 표시나 질문 없이 다음 문제를 풀었다.
5-3x≥14일 때 x의 범위를 구하고, 경계값으로 확인하여라.
학생은 첫 줄에 “부등식이고, x의 계수가 음수이므로 마지막 나눗셈에서 방향을 바꾼다”고 적었다. 양변에서 5를 빼 -3x≥9를 만들고, -3으로 나누어 x≤-3을 구했다. 이어 경계값 -3을 원래 식에 넣어 14≥14임을 확인했으며, 범위 안의 -4에서는 17≥14, 범위 밖의 -2에서는 11≥14가 거짓이라고 설명했다.
학생이 마지막에 남긴 검산 문장은 분명했다. “부등식인지 먼저 확인하고, 양변에 같은 연산을 한 줄씩 적용한다. 음수로 나누거나 곱할 때만 부등호 방향을 바꾼 뒤, 경계값과 안팎의 수를 원래 부등식에 넣어 범위를 확인한다.”