학장동 중3수학과외

학장동 중3수학과외에서 확인한 완전제곱식 인수분해의 한 장면

학장동과외 수업에서 채점지를 펼쳤을 때, 학생은 틀린 답보다 풀이의 첫 줄을 먼저 보여 주었습니다. 문제는 x²+10x+25를 인수분해하시오였고, 학생은 다음처럼 적었습니다.

x²+10x+25=(x+5)(x+1)

곱셈을 해 보면 오른쪽은 x²+6x+5이므로 원식과 다릅니다. 하지만 이 식은 무작정 여러 인수를 시험할 문제가 아니라, 양끝 항이 제곱인지 확인하고 가운데 항의 부호와 크기를 함께 판단해야 하는 완전제곱식 형태였습니다. 학장동중3수학과외에서는 이 첫 판단이 어디에서 어긋났는지 계산 과정과 함께 되짚었습니다.

채점 직후, 학생이 실제로 남긴 선택

학생은 유형 이름을 적지 않고 먼저 x²의 제곱근을 x, 25의 제곱근을 5라고 표시했습니다. 이어서 “곱해서 25가 되는 수는 5와 5”라고 적었지만, 중간항 10x를 확인하는 순간에는 예제에서 자주 본 (x+5)(x+1)을 그대로 골랐습니다. 즉, 두 인수의 곱 조건만 부분적으로 보았고, 두 인수를 곱했을 때 생기는 가운데 항까지 확인하지 않았습니다.

이때 가장 먼저 생긴 문제는 계산 실수가 아니었습니다. 인수를 선택하는 기준을 하나만 적용한 것이 먼저였습니다. (x+a)(x+b) 꼴에서는 끝항이 ab가 되는지뿐 아니라, 가운데 항이 (a+b)x가 되는지도 함께 맞아야 합니다. 이 식에서는 a와 b가 모두 5여야 하므로 가운데 항은 (5+5)x=10x가 되어야 합니다.

한 줄의 판단만 다시 세우기

교정은 풀이 전체를 다시 외우는 방식이 아니었습니다. 학생이 인수를 적기 전에 아래 두 칸만 반드시 채우도록 했습니다.

• 양끝 제곱의 제곱근: x, 5
• 가운데 항 확인: 2×x×5=10x

이 기준을 적용하자 학생은 이미 알고 있던 계산을 버리지 않고, 인수를 다음처럼 바로 고쳤습니다.

x²+10x+25=(x+5)²

다시 전개하면 (x+5)²=x²+10x+25이므로 원식과 일치합니다. 여기서 중요한 것은 ‘끝항이 25인 인수’를 고른 일이 아니라, 같은 수 5가 양끝 제곱을 만들고 그 두 배가 가운데 항을 만드는지 확인한 행동입니다. 이 한 가지 확인만으로 처음의 선택 오류가 바로 연결되어 수정되었습니다.

표현을 바꾼 연습 문제

다음 시간에는 숫자만 바꾼 식을 주지 않았습니다. 이번에는 앞항의 계수가 1이 아닌 식을 제시하고, 인수분해 결과를 빈칸에 쓰게 했습니다.

4y²-12y+9 = (　　　)²

학생은 먼저 4y²에서 제곱근을 2y, 9에서 제곱근을 3으로 표시했습니다. 부호는 가운데 항이 음수이므로 두 항을 빼는 형태라고 정리했습니다. 이어서 2×(2y)×3=12y임을 확인한 뒤 다음과 같이 완성했습니다.

4y²-12y+9=(2y-3)²

이번 문제는 항의 순서와 계수, 부호가 앞 문제와 달랐지만 기준은 같았습니다. 양끝 항이 각각 제곱으로 보이는지, 가운데 항이 두 제곱근의 곱의 두 배와 부호까지 일치하는지를 확인한 것입니다. 별도의 다른 단원 풀이를 끌어오지 않고 완전제곱식 형태를 찾는 데만 집중했습니다.

일주일 뒤, 힌트 없는 확인

한 주 뒤에는 풀이 순서를 알려 주지 않은 채 다음 문제를 제시했습니다.

9a²+24a+16을 완전제곱식의 꼴로 나타내시오.

학생은 곧바로 정답을 쓰지 않고 9a²의 제곱근을 3a, 16의 제곱근을 4라고 표시했습니다. 두 항의 부호가 모두 양수이므로 덧셈 형태를 선택한 뒤, 2×3a×4=24a인지 확인했습니다. 그래서

9a²+24a+16=(3a+4)²

라고 적었습니다. 마지막에는 결과를 다시 전개하여 (3a+4)²=9a²+24a+16이라고 설명했습니다. 끝항만 보고 인수를 고른 것이 아니라, 양끝 제곱과 가운데 항을 독립적으로 대조한 뒤 원식과 다시 비교했습니다. 완전제곱식 형태를 찾아 인수분해한다는 같은 기준을 힌트 없이 재현한 순간이었습니다.