학장동 중1수학과외
학장동 중1수학과외에서 이어진 문자식 대입 풀이
학장동과외 수업에서 학생은 학장중학교가 포함된 생활권의 문제지에 나온 문자식 대입 문제를 풀고 있었다. 문제는 “a=－3일 때 2a＋5의 값을 구하여라”였다. 학생은 식 옆에 곧바로 “2＋5=7”이라고 적었다. 숫자만 먼저 계산한 뒤 문자에 주어진 값을 넣으려 했던 것이다.
한 줄의 계산에서 확인한 최초의 어긋남
풀이 결과가 틀린 이유를 답에서 거꾸로 따라가 보니, 학생은 a가 음수라는 조건을 확인하지 않은 채 식의 항을 숫자로 바꾸었다. 특히 “2a”를 2와 a가 곱해진 항으로 읽지 않고, 앞의 숫자 2를 독립된 수처럼 처리했다. 아직 덧셈을 잘못한 것이 아니라, 문자에 대응하는 값을 대입하기 전 항의 구조와 부호를 생략한 것이 첫 오류였다.
교정할 때 이미 알고 있던 덧셈 계산은 그대로 두고, 식을 읽는 순서만 바꾸었다. 학생은 먼저 a 위에 “－3”을 표시하고,
2a＋5 = 2×(－3)＋5
라고 한 줄로 다시 적었다. 그다음 곱셈 항을 계산하여 －6＋5를 만들고, 답을 －1로 정리했다. 대입값을 괄호 안에 넣은 까닭도 “a가 음수이므로 2와 곱해지는 값 전체를 분명히 보이기 위해서”라고 설명했다.
문장으로 바꾸어도 같은 대응을 찾기
같은 식을 숫자만 바꾼 문제로 반복하지 않고, 표현을 바꾸었다. “어떤 수 a의 2배보다 5 큰 수”를 식으로 나타내고 a=－3일 때의 값을 구하는 문장을 제시했다. 학생은 문장에서 ‘2배’를 2a, ‘5 큰’을 ＋5로 옮겨 2a＋5를 만들었다. 이후 a에 －3을 넣어 2×(－3)＋5=－1이라고 계산했다.
이번에는 괄호가 있는 식을 제시했다.
3－(b＋2), b=－4
학생은 괄호 안의 b에만 값을 대입하는 것이 아니라, 식 전체의 항을 확인하며 3－(－4＋2)로 바꾸었다. 괄호 안을 먼저 계산하여 －2를 얻고, 3－(－2)=5로 정리했다. 항의 순서를 바꾼 5＋2c에서 c=－2인 경우에도 문자항과 상수항을 따로 찾은 뒤 5＋2×(－2)=1이라고 풀이했다. 표현이 달라져도 문자에 주어진 수를 해당 위치에 넣는다는 근거를 한 문장으로 말하게 했다.
간단한 값으로 원래 식과 정리한 식을 비교하다
학생이 정리한 결과가 대입 과정과 맞는지 확인하기 위해, 식을 먼저 정리한 경우와 원래 식에 값을 바로 넣은 경우를 나란히 적었다. 예를 들어 b=－4인 식 3－(b＋2)는
- 원래 식에 대입: 3－(－4＋2)=3－(－2)=5
- 괄호 안을 문자식으로 정리: 3－b－2=1－b, 따라서 1－(－4)=5
두 결과가 같은지 비교하면서, 괄호 앞의 빼기 때문에 괄호 안 항의 부호가 달라질 수 있다는 점을 확인했다. 다만 새로운 계산 규칙을 덧붙이기보다, 대입 전 식의 항과 부호를 표시하는 기존 교정만 계속 사용했다.
힌트 없이 다시 세운 풀이
수업 끝에는 “p=－1일 때 4－(p＋3)의 값”을 별도 도움 없이 풀게 했다. 학생은 먼저 “p는 －1이므로 괄호 안에 괄호를 사용해 대입한다”고 적고,
4－(－1＋3)=4－2=2
라고 계산했다. 이어 “p에 값을 넣지 않고 4－(p＋3)을 계산하면 정해진 값이 아니므로, 주어진 p의 값에 대응시킨 뒤 계산해야 한다”고 풀이 이유를 설명했다. 마지막으로 원래 식에 다시 대입한 과정과 정리한 답을 비교해 2가 일치함을 확인했다.
학장동중1수학과외에서는 이처럼 문자식의 모양이 문장이나 괄호식으로 바뀌어도, 학생이 항과 부호를 먼저 살피고 주어진 값을 정확한 위치에 넣는 과정을 스스로 재현하도록 기록을 남긴다.