학장동 고2수학과외







부호표의 마지막 줄에서 다시 확인한 오류
완성한 도함수의 부호표를 검토하던 중, \(x=-2\)에서 부호가 바뀐 것으로 표시된 것을 발견했다. 그러나 해당 근의 인수가 제곱으로 나타나 있어 부호는 유지되어야 한다.
주어진 도함수와 근의 중복도
다음 도함수의 부호표를 작성해 보자.
\[ f'(x)=(x+2)^2(x-1)^3(x-4) \]
| 근 | 중복도 | 부호 변화 |
|---|---|---|
| \(-2\) | 2 | 변하지 않음 |
| 1 | 3 | 바뀜 |
| 4 | 1 | 바뀜 |
짝수 중복도인 인수는 근을 지나도 부호에 영향을 주지 않는다. 홀수 중복도인 인수만 부호를 반전시킨다.
구간별 부호 계산
가장 오른쪽 구간인 \(x>4\)에서 모든 인수가 양수이므로 \(f'(x)>0\)이다. 이후 근을 왼쪽으로 지나가며 중복도를 확인한다.
- \(x=4\): 홀수 중복도이므로 \(+\)에서 \(-\)로 바뀐다.
- \(x=1\): 홀수 중복도이므로 \(-\)에서 \(+\)로 바뀐다.
- \(x=-2\): 짝수 중복도이므로 \(+\)가 그대로 유지된다.
따라서 부호표는 다음과 같다.
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,1) & 1 & (1,4) & 4 & (4,\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array} \]
판단 기준의 교정
모든 근에서 부호가 바뀐다고 판단하면 안 된다. 근 자체의 개수보다 각 인수의 중복도가 핵심이다. 홀수 중복도에서는 부호가 반전되고, 짝수 중복도에서는 부호가 유지된다.
이 기준은 학장동과외에서 도함수의 증가·감소 구간을 확인할 때도 그대로 적용할 수 있다. 이번 문제에서는 \(f'(x)>0\)인 구간이 \((-\infty,-2)\), \((-2,1)\), \((4,\infty)\)이고, \(f'(x)<0\)인 구간은 \((1,4)\)이다.