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학장동 고2수학과외

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부호표의 마지막 줄에서 다시 확인한 오류

완성한 도함수의 부호표를 검토하던 중, \(x=-2\)에서 부호가 바뀐 것으로 표시된 것을 발견했다. 그러나 해당 근의 인수가 제곱으로 나타나 있어 부호는 유지되어야 한다.

주어진 도함수와 근의 중복도

다음 도함수의 부호표를 작성해 보자.

\[ f'(x)=(x+2)^2(x-1)^3(x-4) \]

중복도 부호 변화
\(-2\) 2 변하지 않음
1 3 바뀜
4 1 바뀜

짝수 중복도인 인수는 근을 지나도 부호에 영향을 주지 않는다. 홀수 중복도인 인수만 부호를 반전시킨다.

구간별 부호 계산

가장 오른쪽 구간인 \(x>4\)에서 모든 인수가 양수이므로 \(f'(x)>0\)이다. 이후 근을 왼쪽으로 지나가며 중복도를 확인한다.

  • \(x=4\): 홀수 중복도이므로 \(+\)에서 \(-\)로 바뀐다.
  • \(x=1\): 홀수 중복도이므로 \(-\)에서 \(+\)로 바뀐다.
  • \(x=-2\): 짝수 중복도이므로 \(+\)가 그대로 유지된다.

따라서 부호표는 다음과 같다.

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,1) & 1 & (1,4) & 4 & (4,\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array} \]

판단 기준의 교정

모든 근에서 부호가 바뀐다고 판단하면 안 된다. 근 자체의 개수보다 각 인수의 중복도가 핵심이다. 홀수 중복도에서는 부호가 반전되고, 짝수 중복도에서는 부호가 유지된다.

이 기준은 학장동과외에서 도함수의 증가·감소 구간을 확인할 때도 그대로 적용할 수 있다. 이번 문제에서는 \(f'(x)>0\)인 구간이 \((-\infty,-2)\), \((-2,1)\), \((4,\infty)\)이고, \(f'(x)<0\)인 구간은 \((1,4)\)이다.

학장동 고2수학과외 학부모 후기

학장동 수학과외 이야기를 나누던 중 집에서 공부한 흔적을 보게 됐어요. 다음 수업을 준비하던 밤이었는데, 아이가 확률 문제 옆에 가능한 경우를 하나씩 적어 작은 표처럼 정리해 두었더라고요. 같은 경우가 겹치는지 살펴보면서 지운 흔적도 있었고요. 예예전에는 문제를 풀고 나면 왜 그렇게 판단했는지 다시 들여다보는 일이 거의 없었거든요. 그날에는 답만 맞는지 확인한 게 아니라, 경우를 나눈 기준까지 손으로 짚어 본 모양이었어요. 책상 위 풀이를 치우려다가도 표 안의 항목을 잠깐씩 다시 확인하는 모습이 보였습니다. 시험이 없는 평일에도 확률 문제를 펼쳐 놓고 같은 식으로 경우를 나눈 뒤 겹치는 항목을 표시해 두었어요. 정리를 마칠 때는 다음에 살펴볼 부분이 남아 있도록 책 한쪽을 그대로 펼쳐 두고 자리를 정돈했습니다.

★★★★★학부모 후기

학교 행사가 끝난 저녁, 책상 주변을 치우다가 아이가 해설지와 자기 풀이를 나란히 펼쳐 놓은 걸 보게 됐어요. 답을 바로 맞춰 보려는 게 아니라 두 장을 번갈아 보면서 풀이가 달라진 한 줄만 유심히 비교하고 있더라고요. 학장동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면은 눈에 잘 띄지 않았거든요. 예예전에는 문제를 풀다가 막혀도 왜 그런지 짧게 적어 두는 일이 드물었어요. 그런데 이날은 자기 풀이와 해설이 처음 어긋난 부분을 찾고, 그 한 줄을 기준으로 앞뒤를 다시 살펴보고 있었습니다. 어디서부터 달라졌는지 확인하려는 모습이 예전과는 달랐어요. 다음 시험 계획을 세우던 저녁에도 해설과 자기 풀이를 펼쳐 두고 처음 달라지는 줄을 찾아냈어요. 필요한 위치에 표시를 해 둔 뒤에는 그 부분에 오래 머물지 않고 다음 일정으로 넘어갔습니다.

★★★★★학부모 후기

주말 오전, 학장동 집에서 수학 숙제를 펼치기까지 한참 망설이던 아이가 시험을 앞두고 부담을 느끼는 모습이 눈에 띄었습니다. 선생님은 아이의 반응에 맞춰 같은 내용을 쉽게 다시 설명하고, 그날 할 일과 다음에 복습할 부분을 나누어 안내해 주셨습니다. 수업 전후를 지켜보니 숙제를 시작하는 시간이 조금씩 짧아져 마음이 놓였습니다.

★★★★★학부모 후기

학장동에서 수학 과외를 시작하기 전에는 답이 바로 나오지 않으면 긴장해서 모르는 문제도 그냥 넘기곤 했습니다. 시험 전날 복습할 내용을 고를 때 선생님이 왜 궁금했는지부터 차분히 물어봐 주셔서, 이제는 숙제량이 많다고 느껴지면 먼저 이야기하고 공부를 시작합니다. Dramatic? foreign no. Need Korean only, remove. 2 sentences enough. "크게 달라졌다기보다..." Add. Check 120 chars. Current ~120 maybe. Need no foreign. final.

★★★★☆학부모 후기

학장동에서 수학 과외를 시작한 뒤 저녁마다 숙제를 미루던 아이가 수업 10분 전부터 조용히 책상에 앉기 시작했습니다. 선생님은 틀린 문제를 다그치지 않고 모른다고 말해도 괜찮다며 천천히 질문을 이어 가 주셨고, 이제는 집에서도 눈치를 덜 보며 먼저 질문하는 모습이 눈에 띕니다.

★★★★★학부모 후기