주례동 고3수학과외

무한대로 갈 때, 경계값은 어디까지 영향을 주는가

주례동 생활권의 학습공간에서 기출 오답을 다시 펼친 학생은 다음과 같은 함수의 극한 문제를 만났다.

\(f(x)=\begin{cases} \dfrac{3x+2}{x-1},&x>5\\ 4-\dfrac1x,&x\le5 \end{cases}\) 일 때 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)\)를 구하여라.

학생은 먼저 \(x=5\)에서 함수값을 계산했다. 왼쪽 식으로는 \(f(5)=\frac{19}{5}\)가 나오자, 이 값이 무한대로 갈 때의 결론에도 영향을 줄 수 있다고 판단했다. 이어 두 식을 모두 정리하려 했지만, 풀이의 첫 줄에서 이미 접근 방향을 잘못 잡은 상태였다. 무한대 극한은 특정 경계점의 함수값이 아니라, 충분히 큰 \(x\)에서 어떤 식이 계속 적용되는지를 먼저 확인해야 하기 때문이다.

오답의 시작점을 거꾸로 찾다

해설을 가린 채 학생의 풀이를 뒤에서부터 거슬러 올라가 보니, 계산 자체보다 먼저 잘못된 줄은 “\(x=5\)의 값도 극한에 포함한다”라고 적은 부분이었다. \(x\to\infty\)는 \(x\)가 5에 가까워지는 상황이 아니다. \(x\)가 계속 커지면 항상 \(x>5\)인 구간에 머문다. 따라서 \(x\le5\)인 예외구간과 경계값은 이 극한의 계산 대상에서 제외해야 한다.

학생은 일반구간과 예외구간을 두 칸으로 나누어 표시했다. 일반구간 \(x>5\)에서는

\[ \frac{3x+2}{x-1} =\frac{3+\frac2x}{1-\frac1x} \longrightarrow \frac{3+0}{1-0}=3. \]

반면 \(x=5\)에서의 함수값은 존재하더라도 무한대 접근값을 바꾸지 않는다. 이처럼 경계값을 따로 적어 둔 뒤, 분자와 분모를 \(x\)로 나누는 방법으로 같은 결론이 나오는지 한 번만 대조했다. 불필요한 검산법을 늘리지 않고, 최초 오류가 있던 경계 해석만 바로잡은 것이다.

경계가 아니라 적용 구간이 바뀐 경우

같은 숫자를 바꾸는 대신 조건의 위치를 바꾼 문제를 제시했다.

\[ g(x)=\begin{cases} \dfrac{3x+2}{x-1},&x>7\\ \dfrac{2x}{x+1},&x\le7 \end{cases} \]

학생은 이번에도 먼저 \(x=7\)의 함수값을 계산하려다 멈추고, “\(x\to\infty\)에서 실제로 계속 사용되는 식”을 찾았다. \(x>7\)이 충분히 큰 모든 \(x\)를 포함하므로 극한은 다시 3이다. 경계 조건이 \(x>5\)에서 \(x>7\)로 좁아졌지만, 큰 값에서 적용되는 식이 변하지 않았기 때문에 결론도 변하지 않는다.

반대로 조건을

\[ g(x)=\begin{cases} \dfrac{2x}{x+1},&x>7\\ \dfrac{3x+2}{x-1},&x\le7 \end{cases} \]

처럼 바꾸면 큰 \(x\)에서 사용하는 식 자체가 달라진다. 이때는 \(\frac{2x}{x+1}\to2\)이므로 극한도 2가 된다. 학생은 경계값 7이 바뀌어서가 아니라, 무한히 큰 구간의 식이 바뀌었기 때문에 결론이 달라졌다고 설명했다. 조건 하나를 삭제하거나 추가할 때도 그 조건이 단지 유한한 구간을 바꾸는지, 끝없이 이어지는 구간을 바꾸는지 구별한 셈이다.

힌트 없는 재풀이에서 남은 판단

마지막으로 해설과 선택지를 모두 가린 새 문제를 풀게 했다.

\[ h(x)=\begin{cases} 5-\dfrac{3}{x},&x\ge4\\ \dfrac{x+1}{x-2},&x<4 \end{cases} \quad\text{에서}\quad \lim_{x\to\infty}h(x) \]

학생은 \(x=4\)를 대입하지 않고, 먼저 “충분히 큰 \(x\)에서는 \(x\ge4\)인 첫 번째 식만 남는다”고 근거를 밝혔다. 그 뒤 \(5-\frac3x\to5\)를 계산하고, 경계점의 함수값과 무한대에서의 접근값을 분리해 기록했다. 주례여자고등학교 인근에서 주례동고3수학과외 학습을 점검할 때도 이 기록 방식은 유용했다. 특히 주례동과외 상담에서 학생의 오답을 볼 때 정답보다 ‘어느 줄에서 경계를 무한대의 조건으로 잘못 읽었는가’를 먼저 확인할 수 있다.

새 조건이 주어져도 학생은 함수값을 먼저 끌어오지 않았다. 적용 구간을 확인하고, 무한히 큰 값에서 살아남는 식을 고른 뒤, 그 식을 원래 극한에 대입했다. 처음의 잘못된 선택 옆에는 “경계점은 접근 방향이 다를 때만 별도 검토, 무한대에서는 최종 적용식 확인”이라고 남겼다. 숫자와 문항 순서가 달라져도 오류가 시작된 지점을 찾아내는 판단이 유지된 것이다.