주례동 고2수학과외
속도와 가속도를 구분하는 순간
주례동과외 수업에서 학생의 풀이 기록을 먼저 확인했다. 위치함수에서 한 번 미분한 값을 가속도라고 적고, 그 뒤에 다시 미분한 식을 속도로 사용하고 있었다.
“위치함수의 변화율을 다시 미분했으니 가속도는 …”
풀이 기록에서 발견한 오류
위치함수 x(t)를 한 번 미분하면 속도 v(t)이고, 속도를 한 번 더 미분해야 가속도 a(t)가 된다. 따라서 미분 횟수와 물리량의 대응이 어긋난 것이 첫 번째 오류였다.
하나의 함수로 관계 다시 세우기
다음 위치함수를 생각해 보자.
x(t) = t3 − 3t2 + 2t (0 ≤ t ≤ 3)
속도와 가속도의 계산
속도는 위치를 한 번 미분한 값이다.
v(t) = x′(t) = 3t2 − 6t + 2
가속도는 속도를 미분한 값이므로
a(t) = v′(t) = 6t − 6
가속도로 속도의 증가와 감소 판단하기
가속도는 속도의 변화율이다. 따라서 a(t)의 부호를 조사한다.
- 0 < t < 1이면 6t − 6 < 0이므로 속도는 감소한다.
- t = 1이면 가속도는 0이다.
- 1 < t < 3이면 6t − 6 > 0이므로 속도는 증가한다.
여기서 a′(t) = 6을 구하는 것은 가속도의 변화율을 알아보는 별도의 계산이다. 속도의 증가·감소를 묻는 문제에서는 가속도 a(t)의 부호를 확인해야 한다.
교정된 판단을 새 문제에 적용하기
새로운 위치함수 x(t) = −2t3 + 9t2 + t를 보았을 때도 먼저
v(t) = x′(t), a(t) = v′(t)
의 순서를 세운 뒤 가속도의 부호를 확인해야 한다. 계산 결과는
v(t) = −6t2 + 18t + 1, a(t) = −12t + 18
이다. 따라서 t < 3/2에서는 속도가 증가하고, t > 3/2에서는 속도가 감소한다.
최종 확인의 기준은 미분을 많이 했는지가 아니라, 위치·속도·가속도의 관계를 올바른 순서로 사용했는지이다.