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주례동 고등수학과외

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주례동 고등수학과외에서 조합과 순열을 공부하던 한 학생은 주례여자고등학교 수행평가 대비 문제를 풀며 ‘17명 중 4명’을 같은 것이 있는 순열 문제처럼 처리하려 했다. 동서대학교 글로벌빌리지에서 진행한 학습 기록을 살펴보니, 계산 실수보다 먼저 확인해야 할 조건을 읽지 않은 것이 출발점이었다. 네 명을 뽑는 문제인지, 뽑은 네 명을 한 줄로 세우는 문제인지에 따라 식이 완전히 달라진다.

17명 중 4명을 고르는 순간, 배열과 선택을 가르다

학생은 문제의 ‘17명 중 4명’이라는 표현을 보자마자 17에서 4를 골라 나열하는 식을 적었다. 그런데 문제에는 자리를 정한다는 말이 없었다. 이 경우 순서를 구별하지 않는 선택이므로 경우의 수는 17C4이다. 반대로 네 명을 뽑아 네 자리에 세운다면 17P4가 된다.

같은 것이 있는 순열은 이 판단 뒤에 등장한다. 예를 들어 A 네 개, B 두 개, C 한 개를 일렬로 배열하면 전체 일곱 자리를 먼저 배열한 뒤 A 네 개와 B 두 개의 반복을 나누어 7!/(4!2!)으로 센다. 서로 구별되지 않는 문자를 사람처럼 취급해 7!만 쓰면 같은 배열을 여러 번 세게 된다. 반대로 서로 다른 학생 7명을 세우는 상황에서 4!나 2!로 나누면 서로 다른 경우를 지워 버린다.

첫 오류는 계산 중간이 아니라 표시를 생략한 순간

학생은 풀이 시간을 따로 적지 않고 문제 문장을 빠르게 읽었다. ‘17명 중 4명’을 본 직후 순서를 포함한다고 단정했고, 이후 같은 사람이 반복되는 배열인지 확인하지 않은 채 나눗셈을 붙였다. 나중에 답이 지나치게 작아지자 4!을 지울지 2!을 지울지만 고쳤지만, 처음의 선택과 배열 구분은 그대로 남아 있었다.

교정할 때는 기존 풀이를 모두 지우지 않았다. 문장 옆에 먼저 ‘선택’ 또는 ‘자리 배치’라고 적고, 같은 대상이 실제로 반복되는지 표시하게 했다. 그다음 네 명을 뽑는 문제는 17C4로, 뽑은 뒤 순서를 정하는 문제는 17C4×4!, 즉 17P4로 다시 연결했다. 중복 나누기는 배열을 만든 뒤 같은 배열이 몇 번 겹쳐 세어졌는지를 설명할 때만 허용했다.

조건을 바꿔 혼자 판단하기

다음에는 숫자와 문항 형식을 바꿨다. 17명 중 4명이 아니라 21명 중 5명을 뽑는 문제에서는 먼저 순서가 없다는 조건을 찾아 21C5를 선택했다. 이어 다섯 명을 회장, 부회장, 총무, 서기, 대표 자리에 각각 배치한다고 바꾸자 순서가 생기므로 21P5로 전환했다.

마지막 문제에서는 31명 중 5명을 뽑되, 그중 두 명은 반드시 함께 포함해야 한다고 제시했다. 학생은 두 사람을 하나의 묶음으로 보고 나머지 세 명을 29명 가운데 고른 뒤, 묶음 안의 두 사람이 서로 다른 역할을 맡는 경우에만 2를 곱했다. 단순히 ‘같은 것이 있으니 나눈다’고 반응하지 않고, 실제로 구별되지 않는 대상인지 조건에서 확인한 점이 달라졌다.

답을 작은 경우부터 직접 검산하기

중복 나누기의 근거를 확인하기 위해 A 두 개와 B 한 개의 배열을 직접 적었다. AAB, ABA, BAA 세 가지뿐이며 3!을 그대로 쓰면 여섯 가지가 된다. A 두 개의 위치를 서로 바꾸어도 같은 배열이므로 2!로 나누어야 한다는 사실이 눈으로 확인된다. 반면 서로 다른 세 학생의 배열은 ABC, ACB처럼 위치가 바뀔 때마다 다른 경우이므로 나누지 않는다.

선택인지 배열인지 먼저 말로 설명하고, 같은 대상의 반복 여부를 표시한 뒤 식을 정한다. 계산 결과보다 그 식이 세고 있는 대상이 무엇인지 확인한다.

자주 묻는 내용

  • ‘17명 중 4명’은 언제 조합인가요?

    네 명을 뽑는 사실만 묻고 역할이나 순서를 구분하지 않으면 조합이다.

  • 같은 것이 있는 순열은 사람을 뽑는 문제에도 쓰나요?

    사람 자체가 같다는 뜻이 아니라, 같은 종류의 물건이나 동일한 문자가 반복되어 서로 구별되지 않을 때 사용한다.

  • 왜 반복되는 개수의 팩토리얼로 나누나요?

    서로 바꾸어도 같은 배열이 되는 횟수만큼 중복해서 세었기 때문이다.

  • 조건이 붙으면 바로 중복 나누기를 하나요?

    먼저 조건을 만족하는 대상을 묶거나 선택한 뒤, 남은 대상이 서로 구별되는지 다시 판단해야 한다.

  • 답이 맞는지 빠르게 확인하는 방법은 무엇인가요?

    대상이 세 개 이하인 미니 경우를 직접 나열해 식이 같은 배열을 중복 계산하는지 확인하면 된다.

주례동 고등수학과외 학부모 후기

해설지와 자기 풀이를 펼쳐 놓고 두 줄을 번갈아 보던 모습이 눈에 띄었어요. 시험이 있는 날도 아니고, 평일 밤에 다음 수업을 준비하던 중이었는데 그냥 지나치지 않더라고요. 주례동 수학과외 이야기를 나누면서도 이런 장면을 직접 보게 될 줄은 몰랐습니다. 예전에는 문제를 다 풀고 나면 그날 어떤 식으로 판단했는지 다시 살피는 일이 없었거든요. 그런데 이번에는 답이 맞는지만 보는 게 아니라, 해설과 자기 풀이가 처음 갈라지는 부분을 찾아 한 줄씩 대조하고 있더라고요. 마지막에도 풀이 전체를 다시 뒤적이지 않고, 다음에 확인할 위치를 남겨 둔 채 책상을 정리했습니다.

★★★★★학부모 후기

다음 주말 책상을 정리하다가 아이가 해설부터 찾지 않고 자기 계산 과정을 처음 줄부터 다시 훑는 모습을 보게 됐어요. 전에는 문제집에 남은 표시만 봐서는 어디를 다시 확인하려는지 알기 어려웠는데, 그날은 계산을 한 줄씩 따라가다가 다시 볼 부분 하나만 남겨두고 나머지 책은 덮더라고요. 주례동 수학과외 이야기를 나누던 때와는 별개로, 다음 날 시간표를 확인하던 밤에도 비슷한 장면이 눈에 들어왔어요. 다음 일정을 준비하길래 잠깐 봤는데 답지는 펼치지 않은 채 앞서 적어둔 계산을 뒤쪽부터 거꾸로 되짚고 있었습니다. 예전에는 표시만 남아 있어 무엇을 살피려는지 알 수 없었는데, 이번에는 답을 먼저 대조하지 않고 자기 풀이의 흐름부터 확인하고 있더라고요.

★★★★★학부모 후기

시험 범위를 처음 확인하던 날, 아이가 모르는 문제를 숨기지 않고 선생님께 먼저 물어보는 모습이 기억에 남았습니다. 주례동에서 수업을 시작한 뒤 선생님은 답을 재촉하지 않고 충분히 생각할 시간을 주셨고, 평일 저녁에도 숙제를 펼쳐 차분히 공부하도록 이끌어 주셨습니다. 몇 차례 지나자 수학 수업이 있는 날을 예전처럼 부담스러워하지 않아 성적보다 반가운 변화로 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

처음에는 틀린 문제를 다시 보는 것조차 부담스러워 답지를 먼저 찾던 아이가, 주례동에서 과외를 시작한 뒤 모르는 부분을 선생님께 다시 설명해 달라고 말하기 시작했습니다. 시험 준비 때도 풀이를 처음부터 반복시키기보다 막힌 지점을 찾아 스스로 이어가게 해 주셔서, 시험이 끝난 주말에는 수업 내용을 제게 먼저 이야기하더군요.

★★★★★학부모 후기

주례동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 저녁 식사 후 공부 계획이 자주 흐트러지던 아이가 조금씩 자기 시간을 조절하기 시작했습니다. 어려운 문제에 오래 매달리면 선생님께서 진도를 재촉하지 않고 막힌 부분부터 다시 짚어 주셔서 질문도 편하게 하더군요. 시험 다음 날 수업 내용을 먼저 이야기하고, 틀린 문제를 다시 펼쳐보는 모습까지 보여 부모로서 한결 안심이 됐습니다.

★★★★★학부모 후기