덕포동 중3수학과외
덕포동 중3수학과외, 완전제곱식에서 멈춘 한 판단
덕포동과외 수업에서 학교 프린트의 인수분해 문제를 다시 살펴보았습니다. 신라중학교와 덕포여자중학교가 포함된 생활권에서 자주 만나는 유형이지만, 이번에는 인수분해를 많이 푸는 것보다 완전제곱식의 세 조건을 모두 확인하는 과정에 초점을 두었습니다. 사상 중흥S-클래스 그랜드센트럴이 있는 생활권이나 사상도서관 인근에서 학습하는 학생들도 같은 방식으로 풀이 기록을 점검할 수 있습니다.
식보다 먼저 확인했어야 할 것
프린트의 문제는 다음과 같았습니다.
16x²+40x+25를 완전제곱식의 꼴로 인수분해하시오.
학생은 풀이 종이에 먼저 양끝 항을 표시했습니다.
- 16x²=(4x)²
- 25=5²
- 따라서 (4x-5)²
겉으로는 첫째 항과 마지막 항이 각각 제곱이므로 자연스러워 보입니다. 하지만 이때 가운데 항의 부호를 확인하지 않았습니다. 학생은 완성된 풀이를 뒤에서 읽으며 “제곱된 두 항만 맞으면 괜찮다”고 판단했고, 다음 줄에 (4x-5)(4x-5)를 적었습니다.
전개하면 (4x-5)²=16x²-40x+25입니다. 원래 식의 가운데 항은 +40x이므로 결과가 달라집니다. 계산을 잘못한 것이 아니라, 인수를 고르는 순간 가운데 항의 부호와 계수 조건을 빠뜨린 것이 최초의 어긋남이었습니다.
인수 선택을 한 줄만 바꾸기
전체 풀이를 처음부터 다시 쓰게 하지 않고, 학생이 이미 표시한 양끝 항은 그대로 두었습니다. 대신 인수를 고르기 전에 다음 세 가지를 나누어 적도록 했습니다.
- 첫째 항의 제곱근: 4x
- 마지막 항의 제곱근: 5
- 두 인수의 가운데 항: 2×4x×5=40x
이제 원래 가운데 항이 +40x이므로 두 항의 부호는 모두 +여야 합니다. 따라서
16x²+40x+25=(4x+5)²
가 됩니다. 실제로 (4x+5)(4x+5)를 전개하면 16x²+20x+20x+25=16x²+40x+25입니다. 앞에서 맞게 찾았던 4x와 5는 유지하고, 부호를 결정하는 조건만 바로잡은 셈입니다.
모양을 바꾼 새 식에 적용하기
다음 시간에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 문자와 항의 배열이 달라진 식을 제시했습니다.
9a²-24ab+16b²를 한 개의 제곱으로 나타내시오.
학생은 먼저 9a²와 16b²를 보고 각각 3a와 4b를 찾았습니다. 그다음 가운데 항을 계산했습니다.
2×3a×4b=24ab
원래 가운데 항은 -24ab이므로 두 항 중 하나만 음수가 되어야 합니다. 양끝 항의 제곱은 그대로 유지하면서
9a²-24ab+16b²=(3a-4b)²
라고 적었습니다. 이 문제에서는 상수항의 부호만 보고 판단할 수 없고, 가운데 항의 부호와 크기를 함께 비교해야 한다는 점이 드러났습니다. 완전제곱식인지 확인하는 기준은 식의 모양이 바뀌어도 동일했습니다.
힌트 없이 확인한 마지막 풀이
마지막에는 풀이 가림판으로 앞의 설명과 표시를 모두 가린 뒤, 다음 문제를 혼자 풀게 했습니다.
49m²+42mn+9n²을 인수분해하고, 결과가 맞는 이유를 쓰시오.
학생은 먼저 49m²에서 7m, 9n²에서 3n을 찾았습니다. 이어 가운데 항을 계산하여
2×7m×3n=42mn
임을 확인하고, 원래 항의 부호가 +이므로 두 항 모두 양수라고 설명했습니다.
49m²+42mn+9n²=(7m+3n)²
마지막 검산에서는 (7m+3n)(7m+3n)을 다시 전개해 49m²+21mn+21mn+9n²=49m²+42mn+9n²임을 확인했습니다. 이번에는 양끝 항만 보고 인수를 정하지 않고, 가운데 항의 계수와 부호까지 맞는지 스스로 설명했습니다. 이것이 덕포동중3수학과외에서 확인한 완전제곱식 인수분해의 독립적인 재현 장면입니다.