덕포동 고등수학과외

덕포동 고등수학과외에서는 조합 문제를 풀 때 공식부터 대입하기보다, 자리에 들어가는 대상이 서로 구별되는지 확인하는 장면을 세밀하게 살핀다. 대덕여자고등학교나 사상고등학교 학생이 학교 자료의 경우의 수 문항을 가져오면, 네 개 자리에 물건을 놓는 상황에서 같은 물건을 이름만 달리해 세고 있지는 않은지부터 점검한다. 덕포자유아파트와 사상도서관 인근에서 학습하는 학생들도 이 부분에서 계산값은 그럴듯하지만 조건을 놓치는 경우가 많다.

네 자리 배열에서 처음 어긋난 순간

학생은 “네 자리에 물건을 하나씩 놓는다”는 문장을 읽고, 선택 대상의 수를 곱해 조합식을 만들었다. 중간 결론에는 ‘각 자리마다 대상을 고른다’고 적었지만, 바로 다음 줄에서 대상들이 서로 다른지 확인하지 않은 채 같은 종류의 물건에도 서로 다른 이름표가 붙어 있다고 가정했다. 예를 들어 빨간 공 두 개와 파란 공 두 개를 네 자리에 놓는 문제에서 빨간 공을 빨강1, 빨강2로 나누어 세고, 파란 공도 같은 방식으로 나누었다. 그 결과 실제로는 구별되지 않는 배치를 여러 번 세게 됐다.

첫 오류는 마지막 계산식이 아니라 네 자리 중간 줄에 생겼다. ‘선택 대상의 구별 가능성 확인’이라는 조건이 빠진 상태에서 순서를 포함한 배열을 진행한 것이다. 학생은 조합을 썼는지 순열을 썼는지만 다시 확인하려 했지만, 식의 종류보다 먼저 대상의 정체가 같은지 다른지를 물어야 했다.

중간 결론을 기준으로 식을 다시 세우기

교정할 때는 답을 지우고 처음부터 새로 풀지 않는다. 학생이 적어 둔 중간 결론을 기준점으로 삼아, 각 단계에서 대상이 실제로 구별되는지 표시하게 한다. 네 자리 모두에 서로 다른 네 물건을 배치한다면 첫 자리 네 가지, 둘째 자리 세 가지, 셋째 자리 두 가지, 마지막 자리 한 가지로 세어 4×3×2×1이 된다. 이때는 자리가 다르므로 순서가 결과를 바꾼다.

반대로 같은 모양의 공처럼 개별 구별이 불가능한 물건이 섞여 있다면 이름표를 임의로 붙여 곱하지 않는다. 빨간 공 두 개와 파란 공 두 개를 네 자리에 놓는 경우에는 빨간 공의 위치 네 곳 중 두 곳만 정하면 나머지는 파란 공으로 정해져 4C2가 된다. 학생에게 두 계산을 나란히 적게 하면서, 구별 가능한 경우의 배열 수와 구별 불가능한 경우의 배열 수가 왜 달라지는지 설명하게 한다.

중간 줄에서 “이 둘을 서로 바꿔도 새로운 배치인가?”라고 물었을 때 답이 아니면, 두 대상을 따로 세어서는 안 된다.

조건을 바꾼 미니 문제

교정 뒤에는 같은 네 자리 문제를 반복하지 않고 조건을 바꾼다. 18개 중 4개를 고르는 문제에서는 먼저 순서를 포함하는지 판정하게 한다. 순서가 없고 대상이 모두 구별된다면 18C4를 사용하지만, 네 자리에 차례로 배치한다면 18×17×16×15가 된다. 이어 22개 중 2개를 고르게 하되 두 대상의 순서를 기록하지 않는 조건을 제시한다. 학생은 숫자를 외워 쓰지 않고 ‘자리의 의미가 있는가, 선택 대상이 서로 다른가’를 혼자 적은 뒤 식을 정한다.

이번에는 부호 변화나 별도 표시 없이 네 자리를 풀게 한다. 각 줄에 ‘자리 있음’, ‘대상 구별 가능’, ‘순서 반영’ 세 항목만 짧게 확인하게 하여, 중간 결론에서 빠졌던 구별 가능성 조건이 실제 풀이에 들어갔는지 살핀다. 대상의 종류와 자리의 수를 바꾸어도 같은 질문을 적용할 수 있어야 한다.

이름표를 붙인 반례로 마지막 검산

마무리에서는 계산값을 다른 방식으로 확인한다. 빨간 공 두 개를 빨강1, 빨강2로 이름 붙여 네 자리에 배열한 뒤, 이름표를 떼었을 때 하나의 배치로 합쳐지는 배열이 몇 개인지 묻는다. 빨강1과 빨강2를 서로 바꾼 배열은 각각 두 번씩 중복되므로, 이름표를 붙인 배열 수를 그대로 답으로 쓰면 과대계산이 된다. 실제로 빨간 공 두 개와 파란 공 두 개의 경우 이름표를 붙인 배열은 4!이지만, 같은 색 공끼리의 교환을 제거하면 4!/(2!2!)=6이다.

학생은 마지막에 원래 조건으로 돌아가 선택 대상이 모두 구별되는 경우와 일부가 같은 경우를 각각 대입한다. 두 결과가 다르게 나오는 이유를 ‘공식이 달라서’가 아니라 ‘서로 바꾼 뒤에도 같은 배치인지 달라진 배치인지’로 설명하면 검증이 끝난다.

자주 묻는 내용

네 자리면 항상 순열을 사용하나요?

자리에 놓는 순서가 결과를 바꾸고 대상이 서로 구별되면 순열적 계산을 한다. 자리의 의미가 없으면 조합으로 바뀔 수 있다.

같은 종류라도 개수가 여러 개면 모두 따로 세면 안 되나요?

문제에서 개별 물건을 구별한다는 조건이 없다면 이름을 임의로 붙여 따로 세면 중복된다.

18개 중 4개를 고를 때 무엇부터 보나요?

네 대상을 뽑은 순서를 기록하는지 먼저 판정하고, 이어 18개 대상이 각각 구별되는지 확인한다.

계산 결과가 크게 나왔을 때 어떻게 확인하나요?

서로 같은 대상의 이름표를 떼어 보거나, 두 대상을 바꿔도 같은 배치인지 확인하면 과대계산 여부를 찾을 수 있다.

중간 메모는 꼭 필요한가요?

구별 가능성, 자리의 의미, 순서 반영 여부를 짧게 남기면 식을 고친 뒤에도 첫 오류가 어느 줄에서 생겼는지 추적할 수 있다.