부평 중등수학과외

부평중등수학과외, 동전과 회전판의 40가지 결과에서 1/40을 확인하는 방법

동전의 앞면과 뒷면이 같은 확률로 나오고, 1부터 20까지의 숫자가 같은 확률로 나오는 회전판을 서로 독립으로 한 번씩 시행한다고 해 보겠습니다. 먼저 묻는 것은 전체 결과의 수이고, 이어서 묻는 것은 ‘앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률’입니다. 기본 문제를 설명할 수 있어도 두 번째 문제에서 무엇이 달라졌는지 혼자 정리하기 어려울 수 있습니다. 이때는 확률 공식을 더 외우게 하기보다, 전체 경우와 특정 사건의 경우를 분리해 읽는지가 핵심입니다.

순서쌍으로 적으면 전체 경우 40가지를 놓치지 않습니다

동전의 결과는 앞면, 뒷면의 2가지이고 회전판의 결과는 1, 2, 3, …, 20의 20가지입니다. 두 시행의 결과를 (동전 결과, 회전판 숫자)처럼 순서쌍으로 쓰면 (앞면, 1), (앞면, 2), …, (앞면, 20), (뒷면, 1), …, (뒷면, 20)으로 정리됩니다. 따라서 전체 경우의 수는 2×20=40가지입니다. 나무그림에서는 동전의 두 갈래 뒤에 각각 1부터 20까지가 연결되므로, 한 갈래의 20개를 두 번 세는 구조도 보입니다. 중복 체크표로 각 순서쌍에 한 번씩 표시하면 빠뜨리거나 같은 결과를 두 번 세지 않았는지도 확인할 수 있습니다.

비교 문제에서는 ‘전체’가 아니라 한 순서쌍을 세야 합니다

‘앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률’은 40가지 전체를 다시 구하는 문제가 아닙니다. 앞면이라는 동전 결과와 1이라는 회전판 결과가 동시에 정해진 사건이므로, 해당 순서쌍은 (앞면, 1) 한 가지입니다. 동전과 회전판은 서로 독립이고 각 결과가 같은 확률로 나온다는 조건이 유지되므로 40개의 순서쌍은 같은 가능성으로 볼 수 있습니다. 유리한 경우는 1가지, 전체 경우는 40가지이므로 확률은 1/40입니다. 또는 P(앞면)=1/2, P(숫자 1)=1/20이어서 독립 시행의 곱 1/2×1/20=1/40으로도 확인됩니다. 분모를 20으로 쓰거나 2/20으로 쓰는 풀이는 ‘함께’라는 조건을 한 결과로 묶지 못했을 때 점검할 부분입니다.

도움 뒤에는 첫 선택을 혼자 하게 하며 판단 근거를 확인합니다

부평중등수학과외에서는 기본 문제와 비교 문제를 나란히 놓고, 기본 문제는 ‘전체 경우 40가지’, 비교 문제는 ‘그중 (앞면, 1) 한 가지’라고 표시해 차이를 드러낼 수 있습니다. 다만 비교 문제를 풀기 전에 정답이나 풀이 방향을 먼저 제시하지 않고, 학생이 처음에 무엇을 전체 경우로 잡는지 살핍니다. 막힌 경우에만 “회전판 결과와 동전 결과는 서로 독립인가요?”처럼 짧게 질문하여 조건을 다시 읽게 합니다. 이후에는 나무그림의 40개 끝점 중 (앞면, 1)이 정확히 하나인지, 확률 1/40이 0과 1 사이인지 확인합니다. 다음 단계에서는 두 문제에서 달라진 질문이 무엇인지와 독립 조건이 왜 곱셈으로 이어지는지를 근거와 함께 말하고, 비교 문제의 첫 식을 스스로 선택하는지 확인하면 됩니다.