부평 중1수학과외

그림의 방향보다 위치 관계를 먼저 읽는 동위각 풀이

부평의 대림아파트와 부원여자중학교가 포함된 생활권에서 중1수학과외를 진행하며, 한 학생의 동위각 풀이를 살펴보았다. 문제에는 서로 평행한 두 직선 l, m을 직선 n이 가로지르고 있었고, 위쪽 교점의 오른쪽 위 각이 68°로 표시되어 있었다. 아래쪽 교점에서 같은 위치에 있는 각의 크기를 구하는 문제였다.

학생은 그림을 보자마자 아래쪽 교점의 왼쪽 위 각을 가리키며 “위쪽 각과 모양이 비슷하니 동위각”이라고 적었다. 이어서 두 각이 같으므로 답을 68°라고 썼다. 숫자 계산은 없었지만, 이 풀이가 어긋나기 시작한 지점은 그림의 모양을 먼저 비교한 판단이었다. 동위각은 각의 생김새가 비슷한지가 아니라, 두 직선을 가로지르는 직선에 대해 각이 놓인 위치가 같은지를 확인해야 한다.

잘못된 선택에서 거꾸로 확인한 기준

학생의 식을 지우게 하기보다 두 교점에 작은 표시를 다시 하도록 했다. 가로지르는 직선 n을 세로로 긋고, 위쪽 교점과 아래쪽 교점에서 각각 왼쪽 위·오른쪽 위·왼쪽 아래·오른쪽 아래 영역을 나누어 표시했다. 주어진 68°는 위쪽 교점의 오른쪽 위 영역이었다. 따라서 동위각 후보는 아래쪽 교점의 오른쪽 위 영역 하나였다.

학생이 골랐던 아래쪽 교점의 왼쪽 위 각은 두 교점에서 같은 쪽에 있지 않았다. 그 각은 동위각이 아니라 다른 위치 관계에 놓인 각이므로, 처음의 “모양이 비슷하다”는 판단을 보류해야 했다. 그림이 기울어져 있거나 교점의 모양이 달라도 오른쪽 위라는 위치가 유지되는지 확인하는 것이 핵심이었다. 두 직선이 평행하다는 표시도 함께 확인한 뒤, 동위각의 크기가 같다는 조건을 적용하여 아래쪽 오른쪽 위 각을 68°로 정리했다.

동위각을 찾을 때는 각의 모양이 아니라, 가로지르는 직선과 두 직선 사이에서 같은 위치인지 먼저 확인한다.

문장으로 바뀐 문제에서 첫 식을 다시 세우다

다음 문제는 그림 대신 문장으로 제시했다. “평행한 두 선분 AB와 CD를 선분 EF가 가로지를 때, A와 E에서 각각 선분의 오른쪽 위에 놓인 각 중 하나가 73°이다. E에서 같은 위치에 놓인 각의 크기를 구하여라.” 이번에는 학생이 곧바로 73°를 쓰지 않고, 문장에서 두 직선과 가로지르는 선분을 표시했다.

먼저 A와 E가 두 교점이라는 점에 밑줄을 긋고, ‘각각 오른쪽 위’라는 말을 동그라미로 묶었다. 이어 A에서 주어진 각의 위치를 작은 그림으로 옮긴 뒤, E에서도 같은 방향에 점을 찍었다. 두 각이 평행선과 가로지르는 선분의 같은 쪽에 놓이므로 동위각이라고 적고, 첫 식을 구하는 각 = 73°로 세웠다. 숫자만 바꾼 반복이 아니라 그림의 위치를 문장에서 찾아 다시 구성한 풀이였다.

방향과 점 이름을 바꾼 독립 적용

부평중학교 주변 생활권에서 활용한 변형 문제에서는 그림을 90도 돌리고, 위쪽 선을 p, 아래쪽 선을 q가 아니라 왼쪽 선과 오른쪽 선으로 보이게 배치했다. 점 이름도 A, E 대신 R, S로 바꾸었다. 직선 t가 평행한 두 직선 u, v를 가로지르고, R에서 직선 t의 왼쪽이면서 두 직선 바깥쪽에 표시된 각이 112°였다. S에서 같은 위치의 각을 구하는 문제였다.

학생은 이번에는 그림의 위아래를 기준으로 삼지 않았다. 먼저 직선 t를 가로지르는 선으로 표시하고, R과 S에서 t의 왼쪽 영역을 각각 확인했다. 두 각이 같은 위치에 있다는 설명을 말로 적은 다음 “평행한 두 직선을 한 직선이 가로지를 때 동위각은 같다”고 이유를 붙였다. 답을 112°로 쓴 뒤, R의 각과 S의 각이 정말 같은 쪽인지 점 이름을 다시 따라가며 확인했다.

힌트 없이 되짚은 최종 확인

마지막 프린트에서는 도형을 거꾸로 배치하고, 주어진 각의 표시를 아래쪽 교점의 왼쪽 아래에 두었다. 학생에게는 아무 표시도 추가하지 않은 상태에서 풀이를 맡겼다. 학생은 먼저 평행 표시와 가로지르는 직선을 찾고, 두 교점에 각각 같은 네 영역을 나누어 표시했다. 그 뒤 주어진 각과 같은 위치인 후보만 남기고 나머지는 제외했다.

학생은 “처음처럼 눈에 보이는 모양을 비교하면 방향이 바뀔 때 틀릴 수 있다. 두 교점에서 가로지르는 직선을 기준으로 같은 위치인지 확인해야 하며, 평행 표시가 있으므로 그 동위각의 크기를 같게 둔다”고 설명했다. 구한 값을 원래 표시와 대조하고, 두 각이 같은 위치에 놓였는지 다시 확인하면서 풀이를 끝냈다. 부평과외 수업에서 확인한 변화는 정답 자체보다, 도형의 방향이 달라져도 동위각을 찾는 첫 판단과 근거를 스스로 재현했다는 점에 있었다.